数列求和、数列的综合应用
共397题

数列求和、数列的综合应用
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题型：填空题

填空题 · 5 分

14.已知数列的前n项和Sn=10n－n2(n∈N+)，则数列的前n项和Tn为。

正确答案

解析

当n=1时，a1=S1=9；

当n≥2时，an=Sn－Sn－1=11－2n，由于n=1时，a1=9也满足11－2n，因此an=11－2n.

（1）当n>5时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=－Sn+2S5=n2－10n+50，

（2）当n≤5时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=－(a1+a2+…+an)=10n－n2，

综合（1）（2），得Tn=

知识点

等差数列的基本运算等差数列的性质及应用等差数列的前n项和及其最值分组转化法求和

题型：单选题

单选题 · 5 分

7. 数列{an}的通项公式an＝ncos，其前n项和为Sn，则S2016等于(　　)

A1008

B2016

C504

正确答案

解析

其中所有的奇数项都为0，而偶数项是分别为第二项是-2，第四项是4，第六项是-6，第八项是8，这样可以将每2项相加放在一起，刚好有1008个偶数项，即可以组成504组，每组的值为2，所有答案就为1008，故A正确。

考查方向

本题主要考查数列和三角函数的综合题，利用周期性解决。

解题思路

算出前4项并找到这个数列的规律，最后用求和公式解决。

易错点

1、不能找到数列的周期性，没有找到规律导致无法计算下去。

知识点

分组转化法求和数列与函数的综合

题型：简答题

简答题 · 12 分

17．已知等差数列{}的首项a2＝5，前4项和＝28．（Ⅰ）求数列{}的通项公式；（Ⅱ）若＝，求数列{}的前2n项和．

正确答案

an=4n-3; T2n=4n

解析

⑴由已知条件:

⑵由⑴可得

考查方向

本题主要考查数列的综合运算

易错点

本题易在求和时发生错误。

知识点

由数列的前几项求通项分组转化法求和

题型：单选题

单选题 · 5 分

11. 已知函数，且，则（）

A50

B60

C70

D80

正确答案

解析

，所以由已知条件知，

，

所以答案为50,选择A

考查方向

数列与函数

解题思路

先求出通项公式an,然后两项一组，即可求解数列的钱50项和

易错点

通项公式不会求

知识点

分组转化法求和数列与函数的综合

题型：填空题

填空题 · 5 分

16．数列{an}的前n项和为Sn，若Sn-Sn一1=2n-l ()，且S2 =3，则a1+a3的值为__________

正确答案

解析

由条件Sn-Sn一1=2n-l ()，可以得到当n=2时，S1= a1=0

当n=3时，S3-S2=2×3-1=5，即a3=5

所以a1+a3=5

考查方向

本题主要考查了数列递推式。

解题思路

本题考查数列递推式，解题步骤如下：

根据条件求出S1= a1=0；2. 再根据S3-S2=a3求出a3.即可得到答案

易错点

对递推式不熟悉，代入的时候出错。

知识点

由递推关系式求数列的通项公式分组转化法求和

题型：单选题

单选题 · 5 分

根据如图框图，对大于2的正数N，输出的数列的通项公式是（　　）

Aan=2n

Ban=2（n﹣1）

Can=2n

Dan=2n﹣1

正确答案

解析

由程序框图知：ai+1=2ai，a1=2，

∴数列为公比为2的等边数列，∴an=2n。

知识点

裂项相消法求和

题型：简答题

简答题 · 12 分

设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N。

（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；

（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b。

正确答案

（1）e=

（2）a=7，b=

解析

（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，∴M的横坐标为c，当x=c时，y=，即M（c，），

若直线MN的斜率为，即tan∠MF1F2=，即b2==a2﹣c2，即c2﹣﹣a2=0，

则，解得e=。

（2）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，故=4，即b2=4a，

由|MN|=5|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，设N（x1，y1），由题意知y1＜0，

则，即代入椭圆方程得，

将b2=4a代入得，解得a=7，b=

知识点

裂项相消法求和

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知等差数列满足：，.的前n项和为.

（1）求及；

（2）令（）,求数列的前n项和.

正确答案

见解析。

解析

（1）设等差数列的公差为d，因为，，所以有

，解得，

所以；==。

（2）由（1）知，所以bn===，

所以==，

即数列的前n项和=。

知识点

由数列的前几项求通项等差数列的性质及应用等差数列的前n项和及其最值裂项相消法求和

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知数列满足

（1）求的值；

（2）设，证明是等比数列；

（3）设为的前项和，证明

正确答案

见解析

解析

（1）解：由，可得

又，

当

（2）证明：对任意

①

②

②-①，得

所以是等比数列。

（3）证明：，由（Ⅱ）知，当时，

故对任意

由①得

因此，

于是，

故

知识点

裂项相消法求和

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知正项数列中，，前n项和为，当时，有.

（1）求数列的通项公式；

（2）记是数列的前项和，若的等比中项，求。

正确答案

见解析。

解析

（1）

，

（2）

知识点

由递推关系式求数列的通项公式裂项相消法求和

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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