空间两点间的距离公式
共8题

· 空间两点间的距离公式

空间两点间的距离公式
共8题

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题型：简答题

简答题 · 12 分

19.如图4所示，在矩形中，，为线段的中点，是的中点，将沿直线翻折成，使得，

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若四棱锥的体积为，求点F到平面的距离．

正确答案

（1）略；（2）；

解析

.证明：（Ⅰ）∵，为线段的中点，

∴，，-------------------------------------------------------1分

故在四棱锥中，

又∵，且、为相交直线，

∴平面，-----------------------------------------------------------3分

又平面，∴平面平面；---------------------------------5分

（Ⅱ）设，则，，

在等腰直角中，，；---------------------------6分

由（Ⅰ）知是四棱锥的高，

故，

整理得，∴，--------------------------8分

连结，在中，由余弦定理可求得，

于是，

∵ 为等腰三角形，其面积；------------------------------------10分

设点F到平面的距离为，因,

由

所以点F到平面的距离为-----------------------------------------------12分

考查方向

本题主要考查空间面面位置关系及点到平面距离的求法，意在考查考生的空间想象能力和运算求解能力。

解题思路

第（1）问先根据等腰证明，进而可以证明平面；

第（2）问先证明是四棱锥的高，然后利用等体积法求出点F到平面的距离。

易错点

无法找到线面垂直的条件；找不到是四棱锥的高。

知识点

直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质空间两点间的距离公式

题型：简答题

简答题 · 12 分

如图，四棱锥，侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面是的菱形，为的中点．

22.求证：；

23.求点到平面的距离

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）略；

解析

（1）：取中点，连结，依题意可知均为正三角形，所以，又平面平面，所以平面，又平面，所以．

考查方向

本题主要考查空间线面位置关系及点到平面的距离等知识，意在考查考生的空间想象能力和运算求解能力。

解题思路

先证明平面，后即可证明所证。

易错点

不会做辅助线导致没有思路；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）

解析

（2）点到平面的距离即点到平面的距离，由（1）可知，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，即为三棱锥的体高．在中，，在中，边上的高，所以的面积，设点到平面的距离为，由得，，又，，解得，所以点到平面的距离为

考查方向

本题主要考查空间线面位置关系及点到平面的距离等知识，意在考查考生的空间想象能力和运算求解能力。

解题思路

先发现点到平面的距离即点到平面的距离，然后利用等体积法求解即可。

易错点

看不出点到平面的距离即点到平面的距离导致没有思路或运算错误。

题型：简答题

简答题 · 12 分

如图，在三棱柱中，是等边三角形，,是中点.

22.求证：平面；

23.当三棱锥体积最大时求点到平面的距离.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(略)

解析

连结，交于，连.在三棱柱中，四边形为平行四边形，则,又是中点，∴，而平面，平面，∴平面.

考查方向

线面平行的位置关系，点到平面的距离，体积桥求距离的应用

解题思路

关键是在面DCB1中找线，连结，交于，可证DO//A1B

易错点

确定“三棱锥体积最大时”的条件

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

设点到平面的距离是，则，而，故当三棱锥体积最大时，，即平面.

由（Ⅰ）知：，所以到平面的距离与到平面的距离相等.

∵平面，平面，∴，

∵是等边三角形，是中点，∴，又，平面，平面，∴平面，∴，由计算得：，所以，设到平面的距离为，由得：，所以到平面的距离是

考查方向

线面平行的位置关系，点到平面的距离，体积桥求距离的应用

解题思路

当三棱锥体积最大时，，即平面，再利用体积桥即可求得点到平面的距离.

易错点

确定“三棱锥体积最大时”的条件

题型：简答题

简答题 · 14 分

18．如图，三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直，，，。

（1）证明：平面；

（2）证明：；

（3）求点到平面的距离。

正确答案

（1）由四边形是长方形可证，进而可证平面；

（2）先证，再证平面，进而可证；

（3）取的中点，连结和，先证平面，再设点到平面的距离为，利用可得的值，进而可得点到平面的距离。

试题解析：

（1）因为四边形是长方形，所以，因为平面，平面，所以平面

（2）因为四边形是长方形，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以

（3）取的中点，连结和，因为，所以，在中，，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，由（2）知：平面，由（1）知：，所以平面，因为平面，所以，设点到平面的距离为，因为，所以，即，所以点到平面的距离是

解析

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知识点

直线与平面平行的判定与性质空间两点间的距离公式

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