- 两条直线平行与垂直的判定与性质
- 共375题
已知A（0，1），B（1，0），C（-3，-2）三点．
（Ⅰ）证明△ABC是直角三角形；
（Ⅱ）求△ABC的面积S；
（Ⅲ）试在x轴上找一点P使|PC|-|PA|最大（不必证明），求出P点的坐标．
正确答案
（Ⅰ）∵kAB=-1，kBC=1，∴kAB⋅kBC=-1，
∴AB⊥BC，∴△ABC是直角三角形…3分
（Ⅱ）|AB|=
∴三角形ABC的面积为：S=
（Ⅲ）A关于x轴的对称点为D（0，-1），连CD交x轴于P点，则P使|PC|-|PA|最大．
设P（x，0），由C，D，P三点共线，则KCD=KDP⇒
故P点的坐标为P（3，0）…（10分）
已知两条直线l1：ax+3y-3=0，l2：4x+6y-1=0．若l1∥l2，则a=______．
正确答案
已知两条直线l1：ax+3y-3=0，
l2：4x+6y-1=0．
l1∥l2，-
则a=2
已知M（1，-1），N（2，2），P（3，0）．
（1）求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ．
（2）若点Q在x轴上，且∠NQP=∠NPQ，求直线MQ的倾斜角．
正确答案
设Q（x，y）
由已知得kMN=3，又PQ⊥MN，可得kMN×kPQ=-1 即 
由已知得kPN=-2，又PN‖MQ，可得kPN=kMQ，即
联立①②求解得x=0，y=1
∴Q（0，1）
（2）设Q（x，0）
∵∠NQP=∠NPQ，∴kNQ=-kNP又∵kNQ=
∴
∴Q（1，0），又∵M（1，-1），
∴MQ⊥x轴
故直线MQ的倾斜角为90°．
经过圆x2+2x+y2=0的圆心C，且与直线x+y=0垂直的直线方程是______．
正确答案
易知点C为（-1，0），而直线与x+y=0垂直，我们设待求的直线的方程为y=x+b，将点C的坐标代入马上就能求出参数b的值为b=1，故待求的直线的方程为x-y+1=0．
故答案为：x-y+1=0．
在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2-y2=1。
（1）过C1的左顶点引C1的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x轴围成的三角形的面积；
（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ；
（3）设椭圆C2：4x2+y2=1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值。
正确答案
解：（1）双曲线C1：
过A与渐近线y=
以
所以所求三角形的面积为S=
（2）设直线PQ的方程为y=kx+b，因直线PQ与已知圆相切，故
由
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则
又y1y2=（x1+b）（x2+b）
所以
故PO⊥OQ。
（3）当直线ON垂直x轴时，|ON|=1，|OM|=
则O到直线MN的距离为
当直线ON不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞
则直线OM的方程为y=
由
所以
同理
设O到直线OM的距离为d，
因为（|OM|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2，
所以
综上，O到直线MN的距离是定值。
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