两条直线平行与垂直的判定与性质_章节学习

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题型：简答题

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简答题

如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D。

（1）设e=，求|BC|与|AD|的比值；

（2）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由。

正确答案

解：（1）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设

，

设直线，分别与C1，C2的方程联立

求得，

当时，a，分别用表示A，B的纵坐标，可知

；

（2）t=0时的l不符合题意；

时，BO∥AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，

即，

解得，

因为，又

所以

解得，

所以当时，不存在直线l，使得BO∥AN；

当时，存在直线l使得BO∥AN。

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题型：简答题

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简答题

已知△ABC的顶点A，B在椭圆x2+3y2=4上，C在直线l：y=x+2上，且AB∥l。

（1）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；

（2）当∠ABC=90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程。

正确答案

解：（1）因为AB∥l，且AB边通过点（0，0），

所以AB所在直线的方程为y=x

设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）

由得

所以

又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离，

所以

即。

（2）设AB所在直线的方程为y=x+m

由得

因为A，B在椭圆上，

所以　　　

设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）

则　　　

所以　　　

又因为BC的长等于点（0，m）到直线l的距离，

即

所以　　　

所以当m=-1时，AC边最长（这时）

此时AB所在直线的方程为y=x-1。

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题型：简答题

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简答题

如图，直线y=x与抛物线y=x2-4交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与直线y=-5交于Q点，

(1)求点Q的坐标；

(2)当P为抛物线上位于线段AB下方(含A、B)的动点时，求△OPQ面积的最大值。

正确答案

解：(1)解方程组，得，

即A(-4，-2)，B(8，4)，

从而AB的中点为M(2，1)，

由kAB=，直线AB的垂直平分线方程y-1=(x-2)，

令y=-5，得x=5，

∴Q(5，-5)。

(2)直线OQ的方程为x+y=0，设P(x，x2-4)，

∵点P到直线OQ的距离，，

∴SΔOPQ=，

∵P为抛物线上位于线段AB下方的点，且P不在直线OQ上，

∴-4≤x＜4-4或4-4＜x≤8，

∵函数y=x2+8x-32在区间[-4，8]上单调递增，

∴当x=8时，ΔOPQ的面积取到最大值30。

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题型：简答题

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简答题

如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D。

（1）设e=，求|BC|与|AD|的比值；

（2）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由。

正确答案

解：（1）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设

，

设直线，分别与C1，C2的方程联立

求得，

当时，a，分别用表示A，B的纵坐标，可知

；

（2）t=0时的l不符合题意；

时，BO∥AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，

即，

解得，

因为，又

所以

解得，

所以当时，不存在直线l，使得BO∥AN；

当时，存在直线l使得BO∥AN。

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆（a＞b＞0）的左焦点F（-c，0）是长轴的一个四等分点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且不与y轴垂直的直线l交椭圆于C、D两点，记直线AD、BC的斜率分别为k1，k2。

（1）当点D到两焦点的距离之和为4，直线l⊥x轴时，求k1：k2的值；

（2）求k1：k2。

正确答案

解：（1）由题意椭圆的离心率，

所以

故椭圆方程为

则直线l：，

故或

当点C在x轴上方时

所以

当点C在x轴下方时，同理可求得

综上，为所求；

（2）因为

所以，

椭圆方程为

直线l：

设

由消x得

所以

故 ①

由及

得

将①代入上式得

注意到，得

所以为所求。

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正确答案

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