两条直线平行与垂直的判定与性质
共375题

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两条直线平行与垂直的判定与性质
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题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=ax4+bx2+cx+1（a，b，c∈R），在x=-1处取得极值-，在x=-2处的切线与直线x-8y=0垂直．

（1）求常数a，b，c的值；

（2）对于函数h（x）和g（x），若存在常数k，m，对于任意x∈R，不等式h（x）≥kx+m≥g（x）都成立，则称直线y=kx+m是函数h（x），g（x）的分界线，求函数f（x）与函数g（x）=-x2+2x+1的“分界线”方程．

正确答案

（1）f'（x）=4ax3+2bx+c，

由条件得到：，

得到：（6分）

（2）依题意x4+x2+2x+1≥kx+m≥-x2+2x+1恒成立，

令x=0，则1≥m≥1，所以m=1，（8分）

因此：kx+1≥-x2+2x+1恒成立，即x2+（k-2）x≥0恒成立，

由△≤0得到：k=2，（10分）

又因为：f(x)-(2x+1)=x4+x2≥0，所以f（x）≥2x+1恒成立，

所以：函数f（x）与函数g（x）=-x2+2x+1的分界线方程是y=2x+1．（12分）

题型：简答题

简答题

设函数f（x）=ax3+bx+c（a≠0）为奇函数，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线x-6y-7=0垂直，导函数f'（x）的最小值为-12。

（1）求a，b，c的值；

（2）求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值。

正确答案

解：（1）∵为奇函数，

∴

即

∴

∵的最小值为

∴

又直线的斜率为

因此，

∴，，。

（2）

∴，列表如下：

所以函数的单调增区间是和

∵，，

∴在上的最大值是，最小值是。

题型：简答题

简答题

已知曲线C：f（x）=3x2-1，C上的两点A，An的横坐标分别为2与an（n=1，2，3，…），a1=4，数列{xn}满足xn+1=[f(xn-1)+1]+1(t＞0且t≠，t≠1)、设区间Dn=[1，an]（an＞1），当x∈Dn时，曲线C上存在点pn（xn，f（xn）），使得点pn处的切线与AAn平行，

（I）建立xn与an的关系式；

（II）证明：{logt(xn-1)+1}是等比数列；

（III）当Dn+1⊈Dn对一切n∈N+恒成立时，求t的范围．

正确答案

（I）因为曲线在pn处的切线与AAn平行

∴6xn=⇒2xn=an+2

（Ⅱ）∵xn+1=[f(xn-1)+1]+1

∴xn+1=[3(xn-1)2-1+1]+1，⇒xn+1=t（xn-1）2+1

从而logt（xn+1-1）=1+2logt（xn-1）⇒logt（xn+1-1）+1=2[logt（xn-1）+1]

∴{logt（xn-1）+1}是一个公比为2的等比数列

（III）由（II）知：logt（xn-1）+1=（logt2+1）2n-1∴xn=1+(2t)2n-1，从而an=2xn-2=(2t)2n-1

∴an+1＜an，∴(2t)2n＜(2t)2n-1

∴0＜2t＜1⇒0＜t＜

题型：简答题

简答题

设有抛物线C：y=-x2+x-4，过原点O作C的切线y=kx，使切点P在第一象限，

(1)求k的值；

(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．

正确答案

解：(1)设点P的坐标为(x1，y1)，则y1=kx1，①

y1=-x12+x1-4，②

①代入②得x12+(k-)x1+4=0，

∵P为切点，

∴Δ=(k-)2-16=0得k=或k=，

当k=时，x1=-2，y1=-17；

当k=时，x1=2，y1=1；

∵P在第一象限，

∴所求的斜率k=；

(2)过P点作切线的垂线，其方程为y=-2x+5，③

将③代入抛物线方程得x2-x+9=0，

设Q点的坐标为(x2，y2)，即2x2=9，

∴x2=，y2=-4，

∴Q点的坐标为(，-4)。

题型：简答题

简答题

已知曲线y=x2-1与y=1+x3在x=x0处的切线互相垂直，求x0的值．

正确答案

解：对于y=x2-1，有y′=x，k1=y′|x=x0=x0；

对于y=1+x3，有y′=3x2，k2=y′|x=x0=3x02，

又k1k2=-1，

则x03=-1，

∴x0=-1。

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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