- 两条直线平行与垂直的判定与性质
- 共375题
若函数f（x）=ax3-bx+4，当x=2时，函数f（x）有极值，且函数f（x）图像上以点A（3，f（3））为切点的切线与直线5x-y+1=0平行。
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）以点A（3，f（3））为切点的切线方程；
（3）若方程f（x）=k有3个解，求实数k的取值范围。
正确答案
解：（1）
由题意知
解得
∴
（2）∵
所以切线方程为
即
（3）由（1）知
令
当x变化时，
∴
∴
函数
若方程
由图像可知：
已知定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c，d，∈R）的图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取极小值-
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x∈[-1，1]时，图象上是否存在两点，使得在此两点处的切线互相垂直？证明你的结论．
正确答案
（I）因为图象关于原点对称，所以f（x）为奇函数，所以b=0，d=0；
所以f（x）=ax3+cx，因此f'（x）=3ax2+c
由题意得 
解得 a=
所以f（x）=
（II）不存在．
证明：假设存在x1，x2，则f'（x1）•f'（x2）=-1
所以（x12-1）（x22-1）=-4
因为x1，x2∈[-1，1]所以x12-1，x22-1∈[-1，0]
因此（x12-1）（x22-1）≠-4
所以不存在．
若曲线f（x）=x·sinx+1在x=
正确答案
2
设曲线网y=eax在点（0，1）处的切线与直线x+4y-1=0垂直，则a=______．
正确答案
∵y'=aeax∴曲线y=eax在点（0，1）处的切线斜率k=y'|x=0=a，
又直线x+4y-1=0的斜率为-
由切线与直线x+4y-1=0垂直得a=4．
故答案为4
已知函数f（x）=x3-ax2+bx+c．
（Ⅰ）若a=3，b=-9，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象上存在点P，使P点处的切线与x轴平行，求实数a，b所满足的关系式．
正确答案
（Ⅰ）若a=3，b=-9，
则f'（x）=3x2-2ax+b=3x2-6x-9=3（x+1）（x-3）．
令f/（x）＞0，即3（x+1）（x-3）＞0．则x＜-1或x＞3．
∴f（x）的单调增区间是（-∞，-1），（3，+∞）．
令f/（x）＜0，即3（x+1）（x-3）＜0．则-1＜x＜3．
∴f（x）的单调减区间是（-1，3）．
（Ⅱ）f'（x）=3x2-2ax+b，设切点为P（x0，y0），
则曲线y=f（x）在点P处的切线的斜率k=f'（x0）=3x02-2ax0+b．
由题意，知f'（x0）=3x02-2ax0+b=0有解，
∴△=4a2-12b≥0即a2≥3b．
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