用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
共2973题

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题型：简答题

简答题

如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M、N分别是CC1、BC的中点，点P在直线A1B1上，且满足．

（1）证明：PN⊥AM；

（2）若平面PMN与平面ABC所成的角为45°，试确定点P的位置．

正确答案

解：（1）证明：如图，以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz．

则P（λ，0，1），N（，，0），M（0，1，），

从而=（-λ，，-1），=（0，1，），=（-λ）×0+×1-1×=0，所以PN⊥AM．

（2）平面ABC的一个法向量为 ==（0，0，1）．

设平面PMN的一个法向量为 =（x，y，z），

由（1）得 =（λ，-1，）．

由

解得

∵平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，

∴|cos＜，＞|=||==，

解得λ=-．（11分）

故点P在B1A1的延长线上，且|A1P|=．（12分）

解析

解：（1）证明：如图，以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz．

则P（λ，0，1），N（，，0），M（0，1，），

从而=（-λ，，-1），=（0，1，），=（-λ）×0+×1-1×=0，所以PN⊥AM．

（2）平面ABC的一个法向量为 ==（0，0，1）．

设平面PMN的一个法向量为 =（x，y，z），

由（1）得 =（λ，-1，）．

由

解得

∵平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，

∴|cos＜，＞|=||==，

解得λ=-．（11分）

故点P在B1A1的延长线上，且|A1P|=．（12分）

题型：简答题

简答题

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，PB=PC=CD=2AB=4，AC=2，平面 BPC丄平面 ABCD

（1）求四棱锥P-ABCD的体积；

（2）求平面PAD与平面FBC所成二面角的正切值．

正确答案

解：（1）在直角梯形ABCD中，由AC=2，CD=2AB=4，∠ADC=90°，可得AD=2，BC=BD=4

∴△BPC为等边三角形

取BC的中点O，连接PO，则PO⊥BC

∵平面 BPC丄平面ABCD，平面 BPC∩平面ABCD=BC

∴PO⊥平面ABCD

∴四棱锥P-ABCD的体积为；

（2）连接OD，由（1）可得△BDC为等边三角形，而O为BC的中点，∴OD⊥BC

∵平面 BPC丄平面ABCD，平面 BPC∩平面ABCD=BC，∴OD⊥平面 BPC

延长CB与DA交于E，连接PE，过O作ON⊥PE，连DN，则∠DNO为所求二面角的平面角

∵ON=PC=3，OD=2，∴tan∠DNO=．

解析

解：（1）在直角梯形ABCD中，由AC=2，CD=2AB=4，∠ADC=90°，可得AD=2，BC=BD=4

∴△BPC为等边三角形

取BC的中点O，连接PO，则PO⊥BC

∵平面 BPC丄平面ABCD，平面 BPC∩平面ABCD=BC

∴PO⊥平面ABCD

∴四棱锥P-ABCD的体积为；

（2）连接OD，由（1）可得△BDC为等边三角形，而O为BC的中点，∴OD⊥BC

∵平面 BPC丄平面ABCD，平面 BPC∩平面ABCD=BC，∴OD⊥平面 BPC

延长CB与DA交于E，连接PE，过O作ON⊥PE，连DN，则∠DNO为所求二面角的平面角

∵ON=PC=3，OD=2，∴tan∠DNO=．

题型：单选题

单选题

给出下列四个命题：

①若直线l∥平面α，l∥平面β，则α∥β；

②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；

③一个二面角的两个半平面所在的平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面所在的平面，则这两个二面角的平面角相等或互为补角；

④过空间任意一点P一定可以作一个和两条异面直线（点P不再此两条异面直线上）都平行的平面．

其中不正确的命题的个数有（　　）

正确答案

解析

解：对于①：当α∩β=a，l∥a时，满足直线l∥平面α，l∥平面β，但α∥β不成立，故①错；

对于②：各侧面都是正方形的棱柱的底面各边长相等，但不一定是正多边形，故②错误；

对于③：当第二个二面角分别垂直于第一个二面角的两个半面（第一个二面角不为90°）且第二个二面角两个半面互相垂直时，结论不成立，故③错；如图．

对于④：过两条异面直线中的任意一条作另一条直线的平行平面a，如果给定的空间的点是在平面a内的，那么就不存在平面同时与两异面直线都平行，故④错．

故选D

题型：简答题

简答题

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB＞1，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1，所爬的最短路程为2．

（1）求证：D1E⊥A1D；

（2）求AB的长度；

（3）在线段AB上是否存在点E，使得二面角D1-EC-D的大小为．若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由．

正确答案

解：（1）证明：连接AD1，由长方体的性质可知：

AE⊥平面AD1，∴AD1是ED1在

平面AD1内的射影．又∵AD=AA1=1，

∴AD1⊥A1D

∴D1E⊥A1D1（三垂线定理）

（2）设AB=x，∵四边形ADD1A是正方形，

∴小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到

点C1可能有两种途径，

如图甲的最短路程为|AC1|=

如图乙的最短路程为|AC1=

∵x＞1

∴x2+2x+2＞x2+2+2=x2+4

∴∴x=2（9分）

（3）假设存在连接DE，设EB=y，过点D在平面ABCD内作DH⊥EC，连接D1H，则∠D1HD为二面角D1-EC-D的平面角，

∴∠D1HD=，

∴DH=DD1=1在R△EBC内，EC=，而EC•DH=DC•AD，

即存在点E，且离点B为时，二面角D1-EC-D的大小为．

解析

解：（1）证明：连接AD1，由长方体的性质可知：

AE⊥平面AD1，∴AD1是ED1在

平面AD1内的射影．又∵AD=AA1=1，

∴AD1⊥A1D

∴D1E⊥A1D1（三垂线定理）

（2）设AB=x，∵四边形ADD1A是正方形，

∴小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到

点C1可能有两种途径，

如图甲的最短路程为|AC1|=

如图乙的最短路程为|AC1=

∵x＞1

∴x2+2x+2＞x2+2+2=x2+4

∴∴x=2（9分）

（3）假设存在连接DE，设EB=y，过点D在平面ABCD内作DH⊥EC，连接D1H，则∠D1HD为二面角D1-EC-D的平面角，

∴∠D1HD=，

∴DH=DD1=1在R△EBC内，EC=，而EC•DH=DC•AD，

即存在点E，且离点B为时，二面角D1-EC-D的大小为．

题型：简答题

简答题

如图，正四棱锥P-ABCD各棱长都为2，点O，M，N，Q分别是AC，PA，PC，PB的中点．

（1）求证：PD∥平面QAC；

（2）求平面MND与平面ACD所成的锐角二面角的余弦值的大小；

（3）求三棱锥P-MND的体积．

正确答案

解：（1）证明：连接BD，OQ，因为点O，Q分别是AC，PB的中点．所以PD∥OQ，因为OQ 在平面QAC内，PD在平面外，所以PD∥平面QAC；

（2）连接PO与MN的交点R与D，因为MN∥AC，PO⊥底面ABCD，又AC⊥BD，所以平面POD⊥AC，所以∠ODR就是要求的平面MND与平面ACD所成的锐角二面角大小，

所以OD=，OR=，所以RD=，所以cos∠ODR==，平面MND与平面ACD所成的锐角二面角的余弦值的大小：．

（3）三棱锥P-MND的体积，就是D-PMN的体积，所以它的底面面积为：，高为：，它的体积为：=．

解析

解：（1）证明：连接BD，OQ，因为点O，Q分别是AC，PB的中点．所以PD∥OQ，因为OQ 在平面QAC内，PD在平面外，所以PD∥平面QAC；

（2）连接PO与MN的交点R与D，因为MN∥AC，PO⊥底面ABCD，又AC⊥BD，所以平面POD⊥AC，所以∠ODR就是要求的平面MND与平面ACD所成的锐角二面角大小，

所以OD=，OR=，所以RD=，所以cos∠ODR==，平面MND与平面ACD所成的锐角二面角的余弦值的大小：．

（3）三棱锥P-MND的体积，就是D-PMN的体积，所以它的底面面积为：，高为：，它的体积为：=．

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