热门试卷

（Ⅰ）证明：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，

易知面ACC1A1⊥面ABC，∵∠ACB=90°，

∴BC⊥面ACC1A1

∵AM⊆面ACC1A1，∴BC⊥AM．∵AM⊥BA1，

且BC∩BA1=B，∴AM⊥平面A1BC．

（Ⅱ）解：设AM与A1C的交点为O，连接BO，

由（Ⅰ）可知AM⊥OB，且AM⊥OC，

所以∠BOC为二面角B-AM-C的平面角．

在Rt△ACM和Rt△A1AC中，∠OAC+∠ACO=90°，

∴∠AA1C=∠MAC．∴Rt△ACM∽Rt△A1AC．∴AC2=MC•AA1．

∴MC=．

∴在Rt△ACM中，AM=．

∵，

∴CO=1．

∴在Rt△BCO中，tan∠BOC==1．

∴∠BOC=45°，故所求二面角的大小为45°．

（Ⅲ）在ABC中，作CD⊥AB于D，连接DM，则AB⊥面MCD，AB⊂面MAB，

∴面MAB面⊥面MCD且交线为MD，

在△MCD中，作CO⊥MD，则CO⊥面 MAB，CO为点C到平面ABM的距离．

∵MC=，CD=，∴由勾股定理得MD=，

利用等面积法：MD×CO=MC×CD，∴CO=，即点C到平面ABM的距离是．

解：（1）∵平面PBC∩平面PAC=PC，EF⊂平面PBC，EF∥平面PAC

∴EF∥PC

∵PF=FB，

∴BE=EC，即

（2）以A为坐标原点，分别以AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系

∵PA⊥平面ABCD，PA=AB=1

∴直线PD与底面ABCD所成的角为∠PDA=30°，

∴AD=

则P（0，0，1），B（0，1，0），C（，1，0），E（）

∴，

设平面PDE的法向量为，∴，

∴，∴取z=1，可得

又平面ADE的法向量为

设二面角P-DE-A的平面角为θ，则=

（3）∵C（，1，0），∴

设直线PC与平面PDE所成角为α

∵平面PDE的法向量为

∴=

∴直线PC与平面PDE所成角的正弦值为

（1）证明：∵AB∥平面EFG，平面ABD∩平面EFG=EF，∴AB∥EF．…（2分）

∵F是AD的中点．∴E是BD中点．

又∵G是BC的中点．∴GE∥CD．

∵CD⊄平面EFG，∴CD∥平面EFG．…（2分）

（2）解：由图1可知，当AE+EC最小时，E是BD的中点．

∵平面ABD⊥平面BCD，AB⊥BD，AB⊥平面BCD．

故以B为坐标原点，平行于CD的直线为x轴，BD所在的直线为y轴，AB所在的直线为z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz．

则A（0，0，1），C（1，，0），D（0，，0），E（0，，0）；=（0，-，0），=（0，，0）．…（2分）

设平面AEC的法向量为=（x1，y1，z1），则

⇒

解得

∴平面ACE的一个法向量为=（-1，，1）．…（2分）

而平面BCE的一个法向量为=（0，0，1）．

∵，…（2分）

显然，二面角A-EC-B为锐角，

∴二面角A-EC-B的大小为60°．…（2分）

解：（1）∵PA丄平面ABCD，CD⊂面ABCD，∴PA丄CD

∵DA丄CD，PA、DA是平面PAD内的相交直线，∴CD⊥平面PAD，

∵CD⊂平面PCD，∴面PCD丄面PAD；

（2）以D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴，建立如图空间直角坐标系

则A（2，0，0），C（0，1，0），P（2，0，2），设B（x，y，0）

由AB=AC=，BC=，得

，解之得x=1，y=2（舍负），所以B（1，2，0）

∵=（0，1，0），=（2，0，2），

∴平面PCD的一个法向量=（a，b，c），满足，

取a=1，得=（1，0，-1）．

同理，得到平面PAB的一个法向量=（2，1，0）

∵向量、的夹角满足cos＜，＞==

∴面PAB与面PCD所成的锐二面角大小为arccos．