热门试卷

解：（1）∵DB⊥BA，又∵面ABDE⊥面ABC，面ABDE∩面ABC=AB，DB⊂面ABDE，

∴DB⊥面ABC，∵BD∥AE，∴EA⊥面ABC，

如图所示，以C为原点，分别以CA，CB为x，y轴，

以过点C且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，

∵AC=BC=4，

∴设各点坐标为C（0，0，0），A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，2），E（4，0，4），

则O（2，0，2），M（2，2，0），=（0，4，2），=（-2，4，0），=（-2，2，2），

，=（4，0，4），

∴cos＜＞==-，

∴异面直线AB与CE所成角的大小为60°．

（2）设平面ODM的法向量=（x，y，z），则由⊥

且⊥，，

令x=2，则y=1，z=1，∴=（2，1，1），

设直线CD和平面ODM所成角为θ，

则sinθ=|cos＜，＞|=||==，

∴直线CD和平面ODM所成角的正弦值为．

解：如图，分别在直线OA，OB，OC上取D，E，F，使OD=OE=OF=2，并连接DE，EF，FD，则根据已知条件：△ODE，△OEF，△ODF都为等边三角形；

取EF中点G，连接DG，OG则，DG⊥EF，OG⊥EF，DG∩OG=G；

∴EF⊥平面DOG；

作DH⊥OG，垂足为H，则：EF⊥DH；

即DH⊥OG，DH⊥EF，OG∩EF=G；

∴DH⊥平面OEF，即DH⊥平面OBC；

∴∠DOH便为OA和平面OBC所成角；

能够求出；

∴在△DOG中，由余弦定理得：cos∠DOG=；

∴直线OA与平面OBC所成的角为arccos．

（Ⅰ）证明：

∵∠BAD=90°，即AB⊥AD，

∵侧面APD⊥底面ABCD，∴AB⊥面APD．

∵PE⊂面APD，∴AB⊥PE．

（Ⅱ）证明：∵∠BAD=90°，AB=2，AE=2，

∴∠AEB=60°．

∵∠ADC=60°，CD、BE共面，∴CD∥BE．

又CD⊄面PBE，BE⊂面PBE，

∴CD∥面PBE．

（Ⅲ）解：法一、

在面ABCD内作CF⊥AD，垂足为F，

∵侧面APD⊥底面ABCD，∴CF⊥面APD．

在面APD内作FG⊥PD，垂足为G，连结CG，则CG⊥PD，

∴∠CGF是二面角A-PD-C的平面角．

∴FC=8sin60°=4，FD=8cos60°=4．

∵AP⊥PD，∴AP=2FG=6，于是FG=3．

∴tan∠CGF==．∴∠CGF=arctan为所求．

法二、

如图建立空间直角坐标系．

所以D（0，，0），P（0，0，），C（，，0）

设平面PCD的一个法向量为

由，得．

取x=，得．

平面APD的一个法向量为

设所求二面角的大小为θ，

∵=（，3，）•（1，0，0）=，||||==，

∴cosθ==．∴θ=arccos．

∴所求二面角的大小为arccos．

解：（1）证明：根据题意，在△AOC中，AC=a=2，，

所以AC2=AO2+CO2，所以AO⊥CO．…（2分）

因为AC，BD是正方形ABCD的对角线，

所以AO⊥BD．…（3分）

因为BD∩CO=O，

所以AO⊥平面BCD；．…（4分）

（2）：由（1）知，CO⊥OD，如图，以O为原点，OC，OD所在的直线分别为x轴，y轴建立如图的空间直角坐标系O-xyz，…（5分）

则有O（0，0，0），，，．

设A（x0，0，z0）（x0＜0），则，．…（6分）

又设面ABD的法向量为n=（x1，y1，z1），

则即  

所以y1=0，令x1=z0，则z1=-x0．

所以n=（z0，0，-x0）．…（8分）

因为平面BCD的一个法向量为m=（0，0，1），

且二面角A-BD-C的大小为120°，…（9分）

所以，得．

因为，所以．

解得．所以．…（10分）

设平面ABC的法向量为l=（x2，y2，z2），因为，

则，即令x2=1，则．

所以．…（12分）

设二面角A-BC-D的平面角为θ，

所以．…（13分）

所以．

所以二面角A-BC-D的正切值为．…（14分）