用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
共2973题

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题型：单选题

单选题

已知二面角α-l-β的大小为50°，P为空间中任意一点，则过点P且与平面α和平面β所成的角都是35°的直线的条数为（　　）

正确答案

解析

解：首先给出下面两个结论

①两条平行线与同一个平面所成的角相等．

②与二面角的两个面成等角的直线在二面角的平分面上．

图1．

（1）如图1，过二面角α-l-β内任一点作棱l的垂面AOB，交棱于点O，与两半平面于OA，OB，则∠AOB为二面角α-l-β的平面角，∠AOB=50°

设OP1为∠AOB的平分线，则∠P1OA=∠P1OB=25°，与平面α，β所成的角都是35°，此时过P且与OP1平行的直线不符合要求，当OP1以O为轴心，在二面角α-l-β的平分面上转动时，OP1与两平面夹角变小，不再会出现35°情形．

图2．

（2）如图2，设OP2为∠AOB的补角∠AOB′，则∠P2OA=∠P2OB=65°，与平面α，β所成的角都是65°．当OP2以O为轴心，在二面角α-l-β′的平分面上转动时，OP2与两平面夹角变小，对称地在图中OP2两侧会出现35°情形，有两条．此时过P且与OP2平行的直线符合要求，有两条．

综上所述，直线的条数共有2条．

故选B．

题型：简答题

简答题

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=a，AC=2，AA1=1，点D在棱B1C1上且B1D：DC1=1：3

（1）证明：无论a为任何正数，均有BD⊥A1C；

（2）当a为何值时，二面角B-A1D-B1为60°．

正确答案

解：（1）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A-xyz（如图），

，A1（0，0，1），B（a，0，0），C（0，2，0），

=，=（0，2，-1），

∵•（0，2，-1）=0，∴，即BD⊥A1C．

故无论a为任何正数，均有BD⊥A1C．

（2），

设平面A1BD的一个法向量为=（x，y，z），则，，

故，即，取．

又平面A1B1D的一个法向量为

∴，

结合图形知与二面角B-A1D-B1相等，即，

∴，

解得，

故当时，二面角B-A1D-B1为60°．

解析

解：（1）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A-xyz（如图），

，A1（0，0，1），B（a，0，0），C（0，2，0），

=，=（0，2，-1），

∵•（0，2，-1）=0，∴，即BD⊥A1C．

故无论a为任何正数，均有BD⊥A1C．

（2），

设平面A1BD的一个法向量为=（x，y，z），则，，

故，即，取．

又平面A1B1D的一个法向量为

∴，

结合图形知与二面角B-A1D-B1相等，即，

∴，

解得，

故当时，二面角B-A1D-B1为60°．

题型：填空题

填空题

已知PA、PB、PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值是______．

正确答案

解析

解：在PC上任取一点D并作DO⊥平面APB，则∠DPO就是直线PC与平面PAB所成的角．

过点O作OE⊥PA，OF⊥PB，因为DO⊥平面APB，则DE⊥PA，DF⊥PB．

△DEP≌△DFP，∴EP=FP，∴△OEP≌△OFP，

因为∠APC=∠BPC=60°，所以点O在∠APB的平分线上，即∠OPE=30°．

设PE=1，∵∠OPE=30°∴OP==

在直角△PED中，∠DPE=60°，PE=1，则PD=2．

在直角△DOP中，OP=，PD=2．则cos∠DPO==．

即直线PC与平面PAB所成角的余弦值是．

题型：简答题

简答题

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AB⊥BB1，AC=BC=BB1=2，D为AB的中点，且CD⊥DA1．

（Ⅰ）求证：BC1∥平面CA1D；

（Ⅱ）求直线A1B1与平面A1DC的所成角的正弦值．

正确答案

（Ⅰ）证明：连接BC1，连接AC1交A1C于E，连接DE，则E是AC1中点，

∵D是AB中点，∴DE∥BC1，

又∵DE⊂面CA1D，BC1⊄面CA1D，

∴BC1∥面CA1D；

（Ⅱ）设点B1到平面A1DC的距离为h，则

∵AC=BC，D为AB的中点，

∴CD⊥AB，

∵三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AB⊥BB1，D为棱AB的中点，AC=BC=BB1=2，

∴A1D=，CD=，A1C=2，

∴由勾股定理可得CD⊥A1D，

∵AB∩A1D=D，

∴CD⊥平面A1B，

由可得，

∴h=，

∴直线A1B1与平面A1DC的所成角的正弦值为=．

解析

（Ⅰ）证明：连接BC1，连接AC1交A1C于E，连接DE，则E是AC1中点，

∵D是AB中点，∴DE∥BC1，

又∵DE⊂面CA1D，BC1⊄面CA1D，

∴BC1∥面CA1D；

（Ⅱ）设点B1到平面A1DC的距离为h，则

∵AC=BC，D为AB的中点，

∴CD⊥AB，

∵三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AB⊥BB1，D为棱AB的中点，AC=BC=BB1=2，

∴A1D=，CD=，A1C=2，

∴由勾股定理可得CD⊥A1D，

∵AB∩A1D=D，

∴CD⊥平面A1B，

由可得，

∴h=，

∴直线A1B1与平面A1DC的所成角的正弦值为=．

题型：简答题

简答题

如图，三棱锥P-ABC中，E，D分别是BC，AC的中点，PB=PC=AB=4，AC=8．BC=4，PA=2

（1）求证：BC⊥平面PED

（2）求直线AC与平面PBC所成角的正弦值．

正确答案

解：（1）证明：；

∴AB2+BC2=AC2；

∴BC⊥AB；

D，E分别是BC，AC中点；

∴DE∥AB；

∴BC⊥DE；

又PB=PC，D是BC中点；

∴BC⊥PD，DE∩PD=D；

∴BC⊥平面PED；

（2）PA=，PC=4，AC=8；

∴由余弦定理cos∠PCA=；

在△PCE中，PC=4，CE=4；

∴由余弦定理得PE=2，DE=2，并可求得PD=2；

∴△PDE为等边三角形；

∴如图，取PD中点F，连接EF，CF，则：EF⊥PD；

又BC⊥平面PED，EF⊂平面PED；

∴BC⊥EF，即EF⊥BC，PD∩BC=D；

∴EF⊥平面PBC；

∴∠ECF是直线AC和平面PBC所成角；

容易求出EF=，CE=4；

∴；

即直线AC与平面PBC所成角的正弦值为．

解析

解：（1）证明：；

∴AB2+BC2=AC2；

∴BC⊥AB；

D，E分别是BC，AC中点；

∴DE∥AB；

∴BC⊥DE；

又PB=PC，D是BC中点；

∴BC⊥PD，DE∩PD=D；

∴BC⊥平面PED；

（2）PA=，PC=4，AC=8；

∴由余弦定理cos∠PCA=；

在△PCE中，PC=4，CE=4；

∴由余弦定理得PE=2，DE=2，并可求得PD=2；

∴△PDE为等边三角形；

∴如图，取PD中点F，连接EF，CF，则：EF⊥PD；

又BC⊥平面PED，EF⊂平面PED；

∴BC⊥EF，即EF⊥BC，PD∩BC=D；

∴EF⊥平面PBC；

∴∠ECF是直线AC和平面PBC所成角；

容易求出EF=，CE=4；

∴；

即直线AC与平面PBC所成角的正弦值为．

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