用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
共2973题

· 用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题

用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
共2973题

热门试卷

X 查看更多试卷

题型：简答题

简答题

如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2，CD=1，侧面PBC⊥底面ABCD，点F在线段AP上，且满足．

（1）证明：PA⊥BD；

（2）当λ取何值时，直线DF与平面ABCD所成角为30°？

正确答案

（1）证明：如图，∵△PBC是等边三角形，O是BC中点，∴PO⊥BC．

由侧面PBC⊥底面ABCD，得PO⊥平面ABCD，

以BC中点O为原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz．

∵AB=BC=PB=PC=2CD=2，

∴A（1，-2，0），B（1，0，0），D（-1，-1，0），P（0，0，）

∴

∴PA⊥BD；

（2）解：∵，

∴

∵

∴=

∵平面ABCD的一个法向量=（0，0，1），直线DF与平面ABCD所成角为30°

∴sin30°=||

∴4λ2-16λ+7=0

∴，（舍去）

∴λ=时，直线DF与平面ABCD所成角为30°．

解析

（1）证明：如图，∵△PBC是等边三角形，O是BC中点，∴PO⊥BC．

由侧面PBC⊥底面ABCD，得PO⊥平面ABCD，

以BC中点O为原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz．

∵AB=BC=PB=PC=2CD=2，

∴A（1，-2，0），B（1，0，0），D（-1，-1，0），P（0，0，）

∴

∴PA⊥BD；

（2）解：∵，

∴

∵

∴=

∵平面ABCD的一个法向量=（0，0，1），直线DF与平面ABCD所成角为30°

∴sin30°=||

∴4λ2-16λ+7=0

∴，（舍去）

∴λ=时，直线DF与平面ABCD所成角为30°．

题型：单选题

单选题

（2014秋•天津校级月考）若P是等边三角形ABC所在平面外一点，PA=PB=PC=，△ABC的边长为1，则PC和平面ABC所成的角是（　　）

A30°

B45°

C60°

D90°

正确答案

解析

解：取AB中点D，连接PD、CD，

∵PA=PB，D为AB中点，∴PD⊥AB，同理可得CD⊥AB

∵PD、CD是平面PCD内的相交直线

∴AB⊥平面PCD

∵AB⊂平面ABC，∴平面PCD⊥平面ABC，

由此可得直线PC在平面ABC内的射影是直线CD，

∴∠PCD是直线PC和平面ABC所成的角

∵△PAB中，PA=PB=，AB=1

∴PD==

又∵正△ABC中，CD=AB=

∴△PCD中，cos∠PCD==

结合∠PCD是小于180°的正角，可得∠PCD=30°

即PC和平面ABC所成的角等于30°

故选：A

题型：简答题

简答题

如图，在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点．

（Ⅰ）确定点G在线段AC上的位置，使FG∥平面PBD，并说明理由；

（Ⅱ）当二面角B-PC-D的大小为时，求PC与底面ABCD所成角的正切值．

正确答案

解：（Ⅰ）以A为原点，AB、AD、PA所在的直线分别为x、y、z轴，

建立空间直角坐标系A-xyz如图所示，

设正方形ABCD的边长为1，PA=a，则

A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，a）（a＞0），

E（，，0），F（，，），G（m，m，0）（0＜m＜）．

要使FG∥平面PBD，只需FG∥EP，

而=（，，-a），

由=λ可得

解得λ=，m=，

∴G点坐标为（，，0）

∴=，

故当AG=AC时，FG∥平面PBD．

（Ⅱ）设平面PBC的一个法向量为=（x，y，z），

则

而=（1，1，-a），=（0，1，0），

∴

取z=1，得=（a，0，1），

同理可得平面PDC的一个法向量=（0，a，1），

设u，v所成的角为θ，

则|cosθ|=|cos|=，

即=，

∴=，

∴a=1，

∵PA⊥面ABCD，

∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角，

∴tan∠PCA===．

解析

解：（Ⅰ）以A为原点，AB、AD、PA所在的直线分别为x、y、z轴，

建立空间直角坐标系A-xyz如图所示，

设正方形ABCD的边长为1，PA=a，则

A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，a）（a＞0），

E（，，0），F（，，），G（m，m，0）（0＜m＜）．

要使FG∥平面PBD，只需FG∥EP，

而=（，，-a），

由=λ可得

解得λ=，m=，

∴G点坐标为（，，0）

∴=，

故当AG=AC时，FG∥平面PBD．

（Ⅱ）设平面PBC的一个法向量为=（x，y，z），

则

而=（1，1，-a），=（0，1，0），

∴

取z=1，得=（a，0，1），

同理可得平面PDC的一个法向量=（0，a，1），

设u，v所成的角为θ，

则|cosθ|=|cos|=，

即=，

∴=，

∴a=1，

∵PA⊥面ABCD，

∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角，

∴tan∠PCA===．

题型：简答题

简答题

如图，BC=2，原点O是BC的中点，点A的坐标为，点D在平面yoz上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°．

（1）求向量的坐标；

（2）求异面直线AD与BC所成角的余弦值．

正确答案

解：（1）过D作DE⊥BC于E，则DE=CD•sin30°=，OE=OB-BDcos60°=1-=，

∴D的坐标为（0，-，），

又∵C（0，1，0），

∴

（2）依题设有A点坐标为A，

∴

则，

故异面直线AD与BC所成角的余弦值为．

解析

解：（1）过D作DE⊥BC于E，则DE=CD•sin30°=，OE=OB-BDcos60°=1-=，

∴D的坐标为（0，-，），

又∵C（0，1，0），

∴

（2）依题设有A点坐标为A，

∴

则，

故异面直线AD与BC所成角的余弦值为．

题型：单选题

单选题

正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为A1C1中点，则直线AA1与面AB1D所成角的正弦值为（　　）

正确答案

解析

解：设A1到面AB1D的距离为h，则

∵正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为A1C1中点，

∴△AB1D中，AB1=，AD=，B1D=

∴AB1边上的高为=

∴

∵

∴由=可得

∴h=

∴直线AA1与面AB1D所成角的正弦值为=

故选B．

继续学习学习下一知识点

下一知识点 : 导数的概念

百度题库 > 高考 > 数学 > 用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题

扫码查看完整答案与解析