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题型: 单选题
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单选题

如图,单位正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列说法错误的是(  )

ABD1⊥B1C

B,则PE∥A1B

C若点B1、A、D、C在球心为O的球面上,则点A、C在该球面上的球面距离为

D,则A1P、BE、AD三线共点

正确答案

C

解析

解:以D点为坐标原点,DA、DC、DD1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系

则A1(1,0,1),D1(0,0,1),B(1,1,0),B1(1,1,1),C(0,1,0),

选项A:=(-1,-1,1),=(-1,0,-1),则=0∴BD1⊥B1C

选项B:若,则P(0,0,),E(0,,0)

=(0,,-),=(0,1,-1)则=-∴PE∥A1B

选项C:若点B1、A、D、C在球心为O的球面上,则该球为正方体的外接球,OA=OC=,AC=

则AC所对的圆心角为π-arccos,∴点A、C在该球面上的球面距离为,则选项C不正确;

选项D:由选项B可知PE∥A1B,且PE=A1B,∴A1P、BE共面且相交,假设交点为Q,Q∈A1P,A1P⊂面A1PD,Q∈BE,BE⊂面BED

∴Q∈面A1PD,Q∈⊂面BED,而面A1PD∩面BED=AD∴Q∈AD即A1P、BE、AD三线共点于Q.

故选C.

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题型:简答题
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简答题

已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.

(1)用向量法证明E,F,G,H(2)四点共面;

(2)用向量法证明:BD∥平面EFGH;

(3)设M是EG和FH的交点,求证:对空间任一点O,有

正确答案

证明:(1)连接BG,则

=

由共面向量定理的推论知:E、F、G、H四点共面,(其中

(2)因为

所以EH∥BD,又EH⊂面EFGH,BD不在 面EFGH

所以BD∥平面EFGH.

(3)连接OM,OA,OB,OC,OD,OE,OG

由(2)知,同理,所以

EH∥FG,EH=FG,所以EG、FH交于一点M且被M平分,

所以

=

解析

证明:(1)连接BG,则

=

由共面向量定理的推论知:E、F、G、H四点共面,(其中

(2)因为

所以EH∥BD,又EH⊂面EFGH,BD不在 面EFGH

所以BD∥平面EFGH.

(3)连接OM,OA,OB,OC,OD,OE,OG

由(2)知,同理,所以

EH∥FG,EH=FG,所以EG、FH交于一点M且被M平分,

所以

=

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题型:简答题
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简答题

如图,在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中,平面PCD⊥平面ABCD,PC=PD=CD=2.

(I)求证:PD⊥BC;

(II)求二面角B-PD-C的正切值.

正确答案

解:(I)取CD的中点为O,连接PO,

∵PD=PC,∴PO⊥CD,

∵平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,

∴PO⊥平面ABCD,

如图,在平面ABCD内,过O作OM⊥CD交AB于M,以O为原点,OM、OC、OP分别

为x、y、z轴,建立空间直角坐标系(如图),

可得B(2,1,0),C(0,1,0),D(0,-1,0),P(0,0,)…(4分)

由此可得0×(-2)+(-1)×0+(-)×0=0,所以

∴PD⊥BC;…(6分)

(II)取PD的中点E,连接CE、BE,则

∵△PCD为正三角形,∴CE⊥PD

∵E是PD中点,

∴BE⊥PD

∴∠CEB为二面角B-PD-C的平面角.…(9分)

由同角三角函数基本关系,得sin∠BEC==

,即二面角B-PD-C的正切值等于.…(12分)

解析

解:(I)取CD的中点为O,连接PO,

∵PD=PC,∴PO⊥CD,

∵平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,

∴PO⊥平面ABCD,

如图,在平面ABCD内,过O作OM⊥CD交AB于M,以O为原点,OM、OC、OP分别

为x、y、z轴,建立空间直角坐标系(如图),

可得B(2,1,0),C(0,1,0),D(0,-1,0),P(0,0,)…(4分)

由此可得0×(-2)+(-1)×0+(-)×0=0,所以

∴PD⊥BC;…(6分)

(II)取PD的中点E,连接CE、BE,则

∵△PCD为正三角形,∴CE⊥PD

∵E是PD中点,

∴BE⊥PD

∴∠CEB为二面角B-PD-C的平面角.…(9分)

由同角三角函数基本关系,得sin∠BEC==

,即二面角B-PD-C的正切值等于.…(12分)

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题型:简答题
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简答题

如图,P-ABCD是正四棱锥,ABCD-A1B1C1D1是正方体,其中

(1)求证PA⊥B1D1

(2)求平面PAD与平面BDD1B1所成的锐二面角θ的正弦值大小;

(3)求B1到平面PAD的距离.

正确答案

(1)证明以A1B1为x轴,A1D1为y轴,A1A为z轴,建立空间直角坐标系,

设E为BD的中点,∵P-ABCD是正四棱锥,

∴PE⊥平面ABCD,

,∴PE=2,

∴P(1,1,4),

,故PA⊥B1D1

(2)解:设平面PAD的法向量

,∴

∵平面BDD1B1的法向量

∴cos<>==-

=

(3)解:∵

∴B1到平面PAD的距离d==

解析

(1)证明以A1B1为x轴,A1D1为y轴,A1A为z轴,建立空间直角坐标系,

设E为BD的中点,∵P-ABCD是正四棱锥,

∴PE⊥平面ABCD,

,∴PE=2,

∴P(1,1,4),

,故PA⊥B1D1

(2)解:设平面PAD的法向量

,∴

∵平面BDD1B1的法向量

∴cos<>==-

=

(3)解:∵

∴B1到平面PAD的距离d==

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题型:简答题
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简答题

在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为A1B1,CD的中点.

(1)求直线EC与AF所成角的余弦值;

(2)求二面角E-AF-B的余弦值.

正确答案

解:(1)建立空间直角坐标系.

则A(2,0,0),F(0,1,0),C(0,2,0),E(2,1,2),

故直线EC与AF所成角的余弦值为

(2)平面ABCD的一个法向量为

设平面AEF的一个法向量为

,∴

令x=1,则y=2,z=-1

由图知二面角E-AF-B为锐二面角,其余弦值为

解析

解:(1)建立空间直角坐标系.

则A(2,0,0),F(0,1,0),C(0,2,0),E(2,1,2),

故直线EC与AF所成角的余弦值为

(2)平面ABCD的一个法向量为

设平面AEF的一个法向量为

,∴

令x=1,则y=2,z=-1

由图知二面角E-AF-B为锐二面角,其余弦值为

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