- 用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
- 共2973题
如图,单位正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列说法错误的是( )
正确答案
解析
解:以D点为坐标原点,DA、DC、DD1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系
则A1(1,0,1),D1(0,0,1),B(1,1,0),B1(1,1,1),C(0,1,0),
选项A:=(-1,-1,1),
=(-1,0,-1),则
•
=0∴BD1⊥B1C
选项B:若,则P(0,0,
),E(0,
,0)
∴=(0,
,-
),
=(0,1,-1)则
=-
∴PE∥A1B
选项C:若点B1、A、D、C在球心为O的球面上,则该球为正方体的外接球,OA=OC=,AC=
;
则AC所对的圆心角为π-arccos,∴点A、C在该球面上的球面距离为
,则选项C不正确;
选项D:由选项B可知PE∥A1B,且PE=A1B,∴A1P、BE共面且相交,假设交点为Q,Q∈A1P,A1P⊂面A1PD,Q∈BE,BE⊂面BED
∴Q∈面A1PD,Q∈⊂面BED,而面A1PD∩面BED=AD∴Q∈AD即A1P、BE、AD三线共点于Q.
故选C.
已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.
(1)用向量法证明E,F,G,H(2)四点共面;
(2)用向量法证明:BD∥平面EFGH;
(3)设M是EG和FH的交点,求证:对空间任一点O,有.
正确答案
证明:(1)连接BG,则
=
由共面向量定理的推论知:E、F、G、H四点共面,(其中)
(2)因为.
所以EH∥BD,又EH⊂面EFGH,BD不在 面EFGH
所以BD∥平面EFGH.
(3)连接OM,OA,OB,OC,OD,OE,OG
由(2)知,同理
,所以
,
EH∥FG,EH=FG,所以EG、FH交于一点M且被M平分,
所以
=
解析
证明:(1)连接BG,则
=
由共面向量定理的推论知:E、F、G、H四点共面,(其中)
(2)因为.
所以EH∥BD,又EH⊂面EFGH,BD不在 面EFGH
所以BD∥平面EFGH.
(3)连接OM,OA,OB,OC,OD,OE,OG
由(2)知,同理
,所以
,
EH∥FG,EH=FG,所以EG、FH交于一点M且被M平分,
所以
=
如图,在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中,平面PCD⊥平面ABCD,PC=PD=CD=2.
(I)求证:PD⊥BC;
(II)求二面角B-PD-C的正切值.
正确答案
解:(I)取CD的中点为O,连接PO,
∵PD=PC,∴PO⊥CD,
∵平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,
∴PO⊥平面ABCD,
如图,在平面ABCD内,过O作OM⊥CD交AB于M,以O为原点,OM、OC、OP分别
为x、y、z轴,建立空间直角坐标系(如图),
可得B(2,1,0),C(0,1,0),D(0,-1,0),P(0,0,)…(4分)
由此可得0×(-2)+(-1)×0+(-
)×0=0,所以
∴PD⊥BC;…(6分)
(II)取PD的中点E,连接CE、BE,则,
∵△PCD为正三角形,∴CE⊥PD
∵
∴
∵E是PD中点,
∴BE⊥PD
∴∠CEB为二面角B-PD-C的平面角.…(9分)
∵
∴
由同角三角函数基本关系,得sin∠BEC==
∴,即二面角B-PD-C的正切值等于
.…(12分)
解析
解:(I)取CD的中点为O,连接PO,
∵PD=PC,∴PO⊥CD,
∵平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,
∴PO⊥平面ABCD,
如图,在平面ABCD内,过O作OM⊥CD交AB于M,以O为原点,OM、OC、OP分别
为x、y、z轴,建立空间直角坐标系(如图),
可得B(2,1,0),C(0,1,0),D(0,-1,0),P(0,0,)…(4分)
由此可得0×(-2)+(-1)×0+(-
)×0=0,所以
∴PD⊥BC;…(6分)
(II)取PD的中点E,连接CE、BE,则,
∵△PCD为正三角形,∴CE⊥PD
∵
∴
∵E是PD中点,
∴BE⊥PD
∴∠CEB为二面角B-PD-C的平面角.…(9分)
∵
∴
由同角三角函数基本关系,得sin∠BEC==
∴,即二面角B-PD-C的正切值等于
.…(12分)
如图,P-ABCD是正四棱锥,ABCD-A1B1C1D1是正方体,其中
.
(1)求证PA⊥B1D1;
(2)求平面PAD与平面BDD1B1所成的锐二面角θ的正弦值大小;
(3)求B1到平面PAD的距离.
正确答案
(1)证明以A1B1为x轴,A1D1为y轴,A1A为z轴,建立空间直角坐标系,
设E为BD的中点,∵P-ABCD是正四棱锥,
∴PE⊥平面ABCD,
∵,∴PE=2,
∴P(1,1,4),
∴,
,
∴,故PA⊥B1D1.
(2)解:设平面PAD的法向量,
∵,
,
∴,∴
.
∵平面BDD1B1的法向量,
∴cos<>=
=-
,
∴=
.
(3)解:∵,
∴B1到平面PAD的距离d==
.
解析
(1)证明以A1B1为x轴,A1D1为y轴,A1A为z轴,建立空间直角坐标系,
设E为BD的中点,∵P-ABCD是正四棱锥,
∴PE⊥平面ABCD,
∵,∴PE=2,
∴P(1,1,4),
∴,
,
∴,故PA⊥B1D1.
(2)解:设平面PAD的法向量,
∵,
,
∴,∴
.
∵平面BDD1B1的法向量,
∴cos<>=
=-
,
∴=
.
(3)解:∵,
∴B1到平面PAD的距离d==
.
在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为A1B1,CD的中点.
(1)求直线EC与AF所成角的余弦值;
(2)求二面角E-AF-B的余弦值.
正确答案
解:(1)建立空间直角坐标系.
则A(2,0,0),F(0,1,0),C(0,2,0),E(2,1,2),
∴,
.
∴,
故直线EC与AF所成角的余弦值为.
(2)平面ABCD的一个法向量为.
设平面AEF的一个法向量为,
∵,
,∴
,
令x=1,则y=2,z=-1,
∴.
由图知二面角E-AF-B为锐二面角,其余弦值为.
解析
解:(1)建立空间直角坐标系.
则A(2,0,0),F(0,1,0),C(0,2,0),E(2,1,2),
∴,
.
∴,
故直线EC与AF所成角的余弦值为.
(2)平面ABCD的一个法向量为.
设平面AEF的一个法向量为,
∵,
,∴
,
令x=1,则y=2,z=-1,
∴.
由图知二面角E-AF-B为锐二面角,其余弦值为.
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