热门试卷

（Ⅰ）证明：取BC中点O，连结AO．

∵△ABC为正三角形，

∴AO⊥BC．

∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，

∴AO⊥平面BCC1B1．

取B1C1中点O1，以O为原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

则B（1，0，0），D（-1，1，0），，，B1（1，2，0），

∴，，．

∵，，

∴，．

∴AB1⊥平面A1BD；

（Ⅱ）解：设平面A1AD的法向量为=（x，y，z）．，．

∵，，

∴，

∴，

∴．

令z=1得平面A1AD的一个法向量．

由（Ⅰ）知AB1⊥平面A1BD，

∴为平面A1BD的法向量．

cos＜n，．

∴二面角A-A1D-B的大小为θ，

∴；

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知， 为平面A1BD法向量，

∵．

∴点C到平面A1BD的距离．

解：（1）证明：∵AD=2AB=2，E是AD的中点，

∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，∠BEC=90°，

又∵平面D‘EC⊥平面BEC，面D'EC∩面BEC=EC

∴BE⊥面D'EC，∴BE⊥CD’．               

（2）如图，以EB，EC为x轴、y轴，过E垂直于平面BEC的射线为z轴，建立空间直角坐标系．

则

设平面BEC的法向量为；平面D'BC的法向量为

，

代入整理可得：

不妨取x2=l

得，

∴

∴二面角D'-BC-E的余弦值为．

解：（Ⅰ）根据已知条件知四边形ABCD是菱形，O是AC中点；

又M点是BC中点，∴OM是△ABC的中位线；

∴OM∥AB，AB⊂平面ABD，OM⊄平面ABD；

∴OM∥平面ABD；

（Ⅱ）如图，根据已知OB=OD=3，BD=3；

∴∠BOD=90°，即OB⊥OD，又由已知条件OD⊥OC，OC⊥OB；

∴OD，OC，OB三条直线两两垂直，所以分别以这三条直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系；

则能确定以下几点坐标：

O（0，0，0），A（（0，-3，0），B（0，0，3），D（3，0，0）；

取BD中点E并连接OE，AE，∵OB=OD，AB=AD；

∴BD⊥OE，BD⊥AE；

∴∠AEO是二面角A-BD-O的平面角，∠AEO等于向量的夹角；

E（，0，），；

∴=；

∴二面角A-BD-O的余弦值为．