热门试卷

（Ⅰ）证明：在菱形ABCD中，∵∠ABC=60°

∴△ABC为正三角形，

又∵E为AB的中点

∴CE⊥AB，

∵平面PAB⊥平面ABCD，AB为平面PAB与平面ABCD的交线，

∴CE⊥平面PAB，

又∵PA⊂平面PAB

∴CE⊥PA…（4分）

（Ⅱ）解：∵PA=PB，E为AB的中点，

∴PE⊥AB，

又∵PE⊥CE，AB∩CE=E

∴PE⊥平面ABCD，

以E为坐标原点，EB，EC，EP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图所示

设AB=2，则PA=PB=，EP=EA=EB=1，EC=，

∴E（0，0，0），B（1，0，0，），C（0，，0），P（0，0，1），D（-2，，0）

设，其中0≤k≤1，则，

∵为平面PEC的法向量，

∴，得k=，

即F是PD的中点，∴F（-1，，）…（9分）

设为平面EFC的法向量，则

 令z=2，得x=1，取，

设为平面PBC的法向量，则 得出

令z1=1，得，取，

设平面EFC与平面PBC夹角为θ，则cosθ=|cos（）|==…（12分）

解：（1）∵△MCD为正三角形且O是CD的中点，∴MO⊥CD…（1分）

∵面MCD⊥面BCD；面MCD∩面BCD=CD，MO⊂面MCD…（2分）

∴MO⊥面BCD；…（3分）

又∵AB⊥面BCD；∴AB∥MO…（4分）

∵MO⊄面ABC，AB⊂面ABC； …（5分）

∴MO∥面ABC…（6分）

（2）以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图．…（7分）

OB=OM=，则各点坐标分别为O（0，0，0），

C（1，0，0），M（0，0，），B（0，-，0），

A（0，-，2），…（8分）

，．

设平面ACM的法向量为，

由得．…（9分）

解得x=，y=z，取．…（10分）

又平面BCD的法向量为，…（11分）

则==…（13分）

设所求二面角为θ，则sinθ==．…（14分）

证明：（Ⅰ）∵O，E分别是AC，SC的中点，

∴SA∥OE．

∵底面ABCD是正方形，

∴SA，AB，AD两两垂直，连接DG并延长交SB于F，

∵SO是△SBD的直线，

∴G在SO上，

∵AG⊥平面SBD，

∴AG⊥SB，

∵AD⊥SB，

∴SB⊥平面ADF，

同理SO⊥BD，BG⊥SD，

则G是△SBD的垂心，

∵G是△SBD的重心，

∴△SBD是等边三角形；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，SA，AB，AD两两垂直，且SA=AB=AD，

建立如图所示的直角坐标系，

设AB=a，

则B（-a，0，a），C（a，a，0），

D（0，a，0），S（0，0，a），

则=（-a，0，a），=（-a，a，0），

设平面SBD的一个法向量为=（x，y，z），

则，

令x=1，则y=1，z=1，

即为=（1，1，1），

同理平面SCD的一个法向量为=（0，1，1）

∵cos＜，＞===，

∴二面角B-SD-C余弦值的大小为．