- 用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
- 共2973题
（1）求证：点M是BB1的中点；
（2）求直线MN与平面ADD1A1所成角的大小；
（3）求二面角A-MN-A1的大小．
正确答案
∵N是A1D的中点，∴AA1⊥PN，又∵AA1⊥MN，MN∩PN=N，
∴AA1⊥面PMN．
∵PM⊂面PMN，∴AA1⊥PM，∴PM∥AB，
∴点M是BB1的中点．
（2）由（1）知∠PNM即为MN与平面ADD1A1所成的角．
在Rt△PMN中，易知PM=1，PN=
∴tan∠PNM=
故MN与平面ADD1A1所成的角为arctan2．
（3）∵N是A1D的中点，M是BB1的中点，∴A1N=AN，A1M=AM，
又MN为公共边，∴△A1MN≌△AMN．
在△AMN中，作AG⊥MN交MN于G，连接A1G，则∠A1GA即为二面角A-MN-A1的平面角．
在△A1GA中，AA1=2，A1G=GA=
∴cos∠A1GA=
故二面角A-MN-A1的大小为arccos（-
解析
∵N是A1D的中点，∴AA1⊥PN，又∵AA1⊥MN，MN∩PN=N，
∴AA1⊥面PMN．
∵PM⊂面PMN，∴AA1⊥PM，∴PM∥AB，
∴点M是BB1的中点．
（2）由（1）知∠PNM即为MN与平面ADD1A1所成的角．
在Rt△PMN中，易知PM=1，PN=
∴tan∠PNM=
故MN与平面ADD1A1所成的角为arctan2．
（3）∵N是A1D的中点，M是BB1的中点，∴A1N=AN，A1M=AM，
又MN为公共边，∴△A1MN≌△AMN．
在△AMN中，作AG⊥MN交MN于G，连接A1G，则∠A1GA即为二面角A-MN-A1的平面角．
在△A1GA中，AA1=2，A1G=GA=
∴cos∠A1GA=
故二面角A-MN-A1的大小为arccos（-
已知正四棱锥的底面面积为4cm2，体积为4cm3，设它的侧面上的斜高与底面所成角的大小为θ，则sinθ的值是______．
正确答案
解析
解：如图，
E为CD中点，由正棱锥性质，斜高PE⊥CD，，OE⊥CD，∠PEO为斜高与底面所成角，∠PEO=θ．
在直角三角形POE中，sinθ=
故答案为：
在空间中，若射线OA、OB、OC两两所成角都为
正确答案
解析
则根据题意可得OM在∠COB的角平分线上，∠ABM是直线AB与平面OBC所成角
∴∠BOM=30°
由三余弦定理可得，cos∠AOM•cos∠MOB=cos∠AOB
∴
∵OA=2，Rt△AOM中，AM=AOsin∠AOM=
△AOB中，AO=2，OB=1，∠AOB=60°，由余弦定理可得AB2=1+4-2×1×2×cos60°=3
Rt△ABM中，
∴
故答案为：
A
B
C
D
正确答案
解析
由正方体的性质可得BO⊥AC，BO⊥AA1且AA1∩AC=A
∴BO⊥平面AA1C1C
∴∠BC1O为直线BC1与平面A1ACC1所成的角
设正方体的棱长为a，则OB=
在Rt△BC1O中，sin∠BC1O=
∴∠BC1O=
故选D．
正三棱台A1B1C1-ABC中，A1B1：AB=1：2，截面A1BC与ABC的夹角为30°，求：
（1）截面A1BC与底面ABC的面积之比；
（2）三棱台被截面A1BC分成的上下两部分的体积之比．
正确答案
由题设知，∠ADA1=30°，且点P在底面ABC上的射影点O是三角形ABC的重心．而点A1在底面ABC上的射影则是OA的中点O‘．
可设A1D=2，则A1O'=1，O'D=
因截面A1BC，ABC是等底的两个等腰三角形，其面积比就是其对应高的比，
故二者的面积比为
（2）设正三棱锥P-ABC的底边长为2m，高为2h．则三棱锥P-ABC和P-A1B1C1的体积分别为
∴正三棱台ABC-A1B1C1的体积为
∴正三棱台的被截成的上部分体积为
∴三棱台被截面A1BC分成的上下两部分的体积之比为3：4．
解析
由题设知，∠ADA1=30°，且点P在底面ABC上的射影点O是三角形ABC的重心．而点A1在底面ABC上的射影则是OA的中点O‘．
可设A1D=2，则A1O'=1，O'D=
因截面A1BC，ABC是等底的两个等腰三角形，其面积比就是其对应高的比，
故二者的面积比为
（2）设正三棱锥P-ABC的底边长为2m，高为2h．则三棱锥P-ABC和P-A1B1C1的体积分别为
∴正三棱台ABC-A1B1C1的体积为
∴正三棱台的被截成的上部分体积为
∴三棱台被截面A1BC分成的上下两部分的体积之比为3：4．
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