- 用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
- 共2973题
（理）若一条直线与一个正方体的各个面所成的角都为θ，则sinθ=______．
正确答案
为与相交于同一顶点的三个相互垂直的平面所成角相等，
即为体对角线与该正方体所成角．
所以sinθ=
故答案为：
如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D、E、G分别是AB、BB1、AC1的中点，AB=BB1=2．
（Ⅰ）在棱B1C1上是否存在点F使GF∥DE？如果存在，试确定它的位置；如果不存在，请说明理由；
（Ⅱ）求截面DEG与底面ABC所成锐二面角的正切值．
正确答案
（Ⅰ）存在且为B1C1的中点，连接AB1，
∵D、E、G分别是AB1、BB1、AC1的中点，∴DE∥AB1∥GF；
（Ⅱ）延长FE与CB的延长线交于M，连接DM，则DM为截面与底面所成二面角的棱，取BC的中点N，连FN，则FN∥BB1．
∵EB∥FN，EB=
由题设得BM=BN=BE=BD=1，且∠DEM=120°，
作EH⊥DM于H，则∠BDM=∠BMD=30°，连BH，
又BE⊥底面ABC，
由三垂线定理可知DM⊥EH，
∴∠EHB为截面与底面所成的锐二面角．
在Rt△EHB中，BE=1，EH=
∴tan∠EHB=
过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°，则该截面的面积是______．
正确答案
设截面的圆心为Q，
由题意得：∠OAQ=60°，QA=1，
∴S=π•12=π．
答案：π．
若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为a，则cosa=______．
正确答案
不妨认为一个正四棱柱为正方体，与正方体的所有面成角相等时，
为与相交于同一顶点的三个相互垂直的平面所成角相等，
即为体对角线与该正方体所成角．
所以 cosa=
故答案为：
已知正四棱锥P-ABCD的高为4，侧棱与底面所成的角为60°，则该正四棱锥的侧面积是______．
正确答案
棱锥的底面对角线的长为l：
斜高为：
所以四棱锥的侧面积：4×
故答案为：
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