用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
共2973题

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用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
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题型：填空题

填空题

等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，分别是的中点，则所成角的余弦值等于。

正确答案

设边长为2，先取线段，然后求解边长，

而，取由余弦定理求,利用直角梯形,在中求解。

题型：简答题

简答题

（本题14分）如图：在二面角中，Ａ、Ｂ，Ｃ、Ｄ，ＡＢＣＤ为矩形，且ＰＡ＝ＡＤ，Ｍ、Ｎ依次是ＡＢ、ＰＣ的中点，

（１）求二面角的大小（６分）

（２）求证：（６分）

（１）求异面直线ＰＡ和ＭＮ所成角的大小（７分）

正确答案

（1）二面角的平面角为450。（2）异面直线ＰＡ和ＭＮ所成的角为450

解：（1）连结PD∵ABCD为矩形∴AD⊥DC, 即

又PA⊥,∴PD⊥,

∴PAD为二面角的平面角，又∵PA⊥AD，PA=AD

∴PAD是等腰直角三角形，∴PDA=450，即二面角的平面角为450。

（2）证明：过M作ME∥AD，交CD于E，连结NE，则ME⊥CD，

NE⊥CD，∴CD⊥平面MNE， MN⊥CD，又∵AB∥CD，MN⊥AB。

（3）解：过N作NF∥CD，交PD于F，∵ N是PC的中点

∴F是PD的中点，连结AF，可以证明四边形AMNF是平行四边形

∴AF∥MN，PAF是异面直线ＰＡ和ＭＮ所成的角，∵ PA=PD， ∴F是PD的中点，∴AF是PAD的平分线，∵ PAD=900 ∴PAF=450，∴异面直线ＰＡ和ＭＮ所成的角为450。

题型：简答题

简答题

如图，已知点H在正方体的对角线上，∠HDA=．

（Ⅰ）求DH与所成角的大小；

（Ⅱ）求DH与平面所成角的大小．

正确答案

（Ⅰ）45°（Ⅱ）

以为原点，为单位长建立空间直角坐标系．设

则，．连结，．

设，由已知，

由

可得．解得，

所以．（Ⅰ）因为，

所以．即DH与所成的角为．

（Ⅱ）平面的一个法向量是．

因为，所以．

可得DH与平面所成的角为．

题型：简答题

简答题

矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A-BD-C的大小的余弦值．

正确答案

在Rt△AA′O中，∠AA′O=90°，

题型：简答题

简答题

（本小题满分12分）在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=1，AD=DC=.（1）求直线A1C与D1C1所成角的正切值；（2）在线段A1C上有一点Q，且C1Q=C1A1，求平面QDC与平面A1DC所成锐二面角的大小.

正确答案

（1）（2）30°

求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法求二面角的大小也可应用面积射影法，向量法办

解法一：（I）为异面直线AC与D1C所成的角

连AD，在Rt△ADC中，CD=，AD=2，

（II）过Q作EF（在平面AC内）使EF//AB，

连B1C、CF、DF，（面EFCD即平面QDC；面A1B1CD即平面A1DC）

即为二面角A1—DC—Q的平面角.

，即所求二面角大小为30°

解法二：（I）同解法一（I）

（II）建立空间直角坐标系，

即平面QDC与平面A1DC所成锐二面角为。

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