用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
共2973题

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题型：简答题

简答题

（本题14分）如图，五面体中，．底面是正三角形，．四边形是矩形，二面角为直二面角．

（1）在上运动，当在何处时，有∥平面,并且说明理由；

（2）当∥平面时，求二面角的余弦值．

正确答案

(Ⅰ)略 (Ⅱ)

（Ⅰ）当为中点时,有∥平面．…１分

证明:连结连结，

∵四边形是矩形 ∴为中点

∵∥平面，且平面,

平面∴∥， ----5分

∴为的中点． --6分

（Ⅱ）建立空间直角坐标系如图所示,

则,,,

, ------------8分

所以

设为平面的法向量,

则有,

即

令,可得平面的一个

法向量为,　　　　　　　　　　　　　　----------------11分

而平面的法向量为， ---------------------------12分

所以，

所以二面角的余弦值为--------14分

题型：简答题

简答题

（本题满分16分）如图，已知点是正方形所在平面外一点，平面，，点、分别在线段、上，满足．

（1）求与平面所成的角的大小；

（2）求平面PBD与平面ABCD所成角的正切值。

（3）求证：；

正确答案

（1）

（2）

（3）证明见解析

（1）所成角

又,

与平面所成的角为

（2）

（3）过点作,交于,连接,则,

题型：填空题

填空题

如图，二面角的大小是60°，线段.，

与所成的角为30°.则与平面所成的角的正弦值是 .

正确答案

试题分析：点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线.垂足为D，连结AD，有三垂线定理可知AD⊥l，故∠ADC为二面角的平面角为60°，

又由已知∠ABD＝30°，连结CB，则∠ABC为与平面所成的角

设AD＝2，则AC＝，CD＝1

，AB＝＝4，∴sin∠ABC＝，故填

点评：

题型：简答题

简答题

把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，点O是原正方形的中心，求：

(1)EF的长；

(2)折起后∠EOF的大小.

正确答案

（1）同解析（2）∠EOF=120

如图，以O点为原点建立空间直角坐标系O—xyz,设正方形ABCD边长为a,则A(0，－a,0),B(a,0,0),C(0, a,0),D(0,0, a),E(0,－a, a),F(a, a,0)

∴∠EOF=120°

题型：填空题

填空题

如图，在长方体中，，与所成角为，则直线与平面所成角的大小为_________.

正确答案

略

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