用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
共2973题

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题型：填空题

填空题

正方体中，二面角的余弦值为．

正确答案

试题分析：取的中点O，连接,则为二面角的一个平面角。设正方体的棱长为a，在中，，，，所以由余弦定理得：.

点评：二面角求解的一般步骤：一、“找”：找出图形中二面角，若不能直接找到可以通过作辅助线补全图形找二面角的平面角。二、“证”：证明所找出的角就是该二面角的平面角。三、“算”：计算出该平面角。

题型：填空题

填空题

正四棱锥的侧棱长为，底面边长为，为中点，则异面直线与所成的角是．

正确答案

试题分析：连接底面正方形ABCD对角线AC、BD，取底面ABCD对角线AC的中点F，连接EF，BD，说明EF与BE的成角是BE与SC的成角，通过在△BFE中根据余弦定理，BF2=EF2+BE2-2EF•BEcos∠BEF，求出cos∠BEF解得异面直线BE与SC所成角的大小．

连接底面正方形ABCD对角线AC、BD，取底面ABCD对角线AC的中点F，连接EF，BD，EF是三角形ASC的中位线，EF∥SC，且EF=SC，则EF与BE的成角是BE与SC的成角， BF=，AB=

，EF=,三角形SAB是等腰三角形，从S作SG⊥AB，

cosA==,根据余弦定理，BE2=AE2+AB2-2AE•AB•cosA=2，BE=,在△BFE中根据余弦定理，BF2=EF2+BE2-2EF•BEcos∠BEF，cos∠BEF=，∠BEF=60°；

异面直线BE与SC所成角的大小60°．

故答案为：60°

点评：解决该试题的关键是利用平移法得到相交直线的夹角，即为异面直线所成的角。进而得到结论。

题型：简答题

简答题

）如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=AA1，点D是A1B1的中点，点F是AB的中点，点E在A1C1上，且DE⊥AE。

（1）证明B1F//平面ADE；

（2）证明平面ABC1⊥平面C1DF；

（3）求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值。

正确答案

（1）略（2）略（3）

(I)关键证明：B1F//AD.

(2)证明：AB平面CDF.

(3) 过点D作DH垂直CF于点H，则DH平面ABC.连接AH，则HAD是AD和平面ABC所成的角,是解题的关键。

（1）证明: 如图所示，在正三棱柱中, D是的中点，点F是AB的中点，所以,且，所以四边形是平行四边形，所以, AD在平面ADE内,不在平面ADE内, 故. （4分）

（2）证明:如图所示，F是AB的中点，连接DF、DC、CF，由正三棱柱ABC- ABC的性质及D是AB的中点知， ,又CDDF=D，所以AB平面CDF，而AB∥AB，所以AB平面CDF，又AB平面ABC，故平面AB C平面CDF。

（3）解: 过点D作DH垂直CF于点H，则DH平面ABC.连接AH，则HAD是AD和平面ABC所成的角。由已知AB=A A，不妨设

A A=，则AB=2，DF=，D C=，CF=，AD==，DH==—，所以 sinHAD==。即直线AD和平面AB C所成角的正弦值为。

题型：填空题

填空题

正四面体的棱长为，则相邻两个面的夹角的余弦是

正确答案

解：则取两个相邻面的底边的中点，连接可得二面角，则

题型：简答题

简答题

（本题满分14分）

如图, 在直三棱柱中，，,．

（1）求证：；

（2）问：是否在线段上存在一点，使得平面？

若存在，请证明；若不存在，请说明理由。

正确答案

⑴见解析；⑵、存在,是的中点,证明：见解析。

试题分析：（1）利用直三棱柱的性质和底面三角形的特点得到线面垂直，，进而得到线线垂直。

（2）假设存在点D，满足题意，则由，得到线面平行的判定。

证明：⑴、在直三棱柱，

∵底面三边长，，，

∴ ，

又直三棱柱中，，

且,

，∴

而，∴；

⑵、存在,是的中点,证明：设与的交点为，连结，

∵ 是的中点，是的中点，∴ ，

∵ ，，∴.

点评：解决该试题的关键是熟练运用线面垂直的性质定理和线面平行的判定定理来得到证明。对于探索性问题，一般假设存在进行推理论证即可，有的话，要加以说明，并求解出来，不存在说明理由。

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