热门试卷

解法一：

（I）证明

如图，连接AC，AC交BD于点G，连接EG．∵底面ABCD是正方形，∴G为AC的中点．

又E为PC的中点，∴EG∥PA．∵EG⊂平面EDB，PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB   …（4分）

（II）证明：∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥DB，PD⊥DC，PD⊥DB．

又∵BC⊥DC，PD∩DC=D，∴BC⊥平面PDC．∴PC是PB在平面PDC内的射影．

∵PD⊥DC，PD=DC，点E是PC的中点，∴DE⊥PC．

由三垂线定理知，DE⊥PB．

∵DE⊥PB，EF⊥PB，DE∩EF=E，∴PB⊥平面EFD．   …（8分）

（III）

∵PB⊥平面EFD，∴PB⊥FD．又∵EF⊥PB，FD∩EF=F，∴∠EFD就是二面角C-PB-D的平面角．…（10分）

∵PD=DC=BC=2，∴PC=DB=2，DE=PC=

∵PD⊥DB，

∴PB==2

DF==

由（II）知：DE⊥PC，DE⊥PB，PC∩PB=P，∴DE⊥平面PBC．

∵EF⊂平面PBC，∴DE⊥EF．

在Rt△DEF中，sin∠EFD==

∴∠EFD=60°．

故所求二面角C-PB-D的大小为60°．  …（12分）

解法二：

如图，以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，

建立空间直角坐标系，得以下各点坐标：D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），

C（0，2，0），P（0，0，2）…（1分）

（I）证明：

连接AC，AC交BD于点G，连接EG．∵底面ABCD是正方形，∴G为AC的中点．G点坐标为（1，1，0）．

又E为PC的中点，E点坐标为（0，1，1），

∴=（2，0，-2），=（1，0，-1）

∴=2

∴PA∥EG

∵EG⊂平面EDB，PA⊄平面EDB，

∴PA∥平面EDB   …（4分）

（II）证明：

=（2，2，-2），=（0，1，1）

∴•=0

∴PB⊥DE

又∵DE⊥PB，EF⊥PB，DE∩EF=E，

∴PB⊥平面EFD．

（III）∵PB⊥平面EFD，∴PB⊥FD．

又∵EF⊥PB，FD∩EF=F，∴∠EFD就是二面角C-PB-D的平面角．…（10分）

设点F的坐标为（x，y，z），则=（x，y，z-2），=（x，y，z）

∵PF∥PB，DF⊥PB

∴=k，•=0，即：

x=y=（-z-2）=2k，x+y-z=0

解得：k=，x=y=，z=

∴点F的坐标为（，，）

=（-，-，-），=（-，，-）

∵cos∠EFD==

∴∠EFD=60°．故所求二面角C-PB-D的大小为60°．  …（12分）

（1）作AH⊥面BCD于H，连BH，CH，DH，则四边形BHCD是正方形，

且AH=1，所以A到平面BCD距离为1．

（2）以D为原点，以A（x1，y1）为x轴，DC为y轴建立空间直角坐标系如图，则B（1，0，0），C（0，1，0），A（1，1，1），

∴•=0，则BC⊥AD．

设平面ABC的法向量为=(x，y，z)，

则由⊥知：•=-x+y=0；

同理由⊥知：•=x+z=0．

可取x=1，则=(1，1，-1)．

同理，可求得平面ACD的一个法向量为=(1，0，-1)．

∴cos＜，＞==．

（Ⅰ）以AC的中点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=1．

∵∠C1DC=60°，∴CC1=

则A（1，0，0），B（0，，0），C（-1，0，0），A1（1，0，），

B1（0，，），C1（-1，0，）

连结B1C交BC1于O，则O是B1C的中点，连结DO，则O(-，，)

∴=(-1，，)，=(-，，)，

∴=2．

∵AB1⊄平面BC1D，DO⊂平面BC1D，

∴AB1∥平面BC1D．…（5分）

（Ⅱ）=(-1，0，)，=(1，，-)．

设平面BC1D的一个法向量为=（x，y，z），则

即，则有y=0

令z=1，则=（，0，1），设平面BCC1B1的一个法向量是为=（x'，y'，z'），=(0，0，)，=(1，，-)，则

即，∴z′=0．

令y'=-1，则=（，-1，0）

∴cos＜，＞==

∴二面角D-BC1-C的大小为arccos．…（12分）

（Ⅰ）证明：取AC的中点O，连接A1O，BO，

在三棱柱ABC-A1B1C1中，

所有棱长都为2，∠A1AC=60°，

则A1O⊥AC，BO⊥AC，A1O∩BO=O，…（2分）

所以AC⊥平面A1BO而A1B⊂平面A1BO，

∴AC⊥A1B．…（4分）

（Ⅱ）当三棱柱ABC-A1B1C1的体积最大时，

点A1到平面ABC的距离最大，

此时A1O⊥平面ABC．…（6分）

设平面ABC与平面A1B1C的交线为l，

在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1∥AB，AB∥平面A1B1C，

∴AB∥l，…（8分）

过点O作OH⊥l交于点H，连接A1H．由OH⊥l，A1O⊥l知l⊥平面A1OH，

∴l⊥A1H，故∠A1HO为平面A1B1C与平面ABC所成二面角的平面角．…（10分）

在Rt△OHC中，OC=AC=1，∠OCH=∠BAC=60°，则OH=，

在Rt△A1OH中，A1O=2sin60°=，A1H=，cos∠A1HO==．…（12分）

即平面A1B1C与平面ABC所成锐角的余弦值为．