热门试卷

（1）∵O、E分别是AC、SC的中点

∴SA∥EO则SA⊥面ABCD

∴∠SOA是SO与面ABCD所成角

∴SA，AB，AD两两相互垂直，连接DG并延长交SB于F．

∵SO是△SBD的中线，∴G点在SO上

∵AD⊥面SAB，AG⊥面SDB

∴AD⊥SB，AG⊥SB

则SB⊥面FAD即DF⊥SB

同理可得SO⊥BD，BG⊥SD

∴G是△SBD的垂心∴△SBD是等边三角形

∴SA=AB=AD∴tan∠SOA=

（2）G 是△SBD的重心，F是SB的中点

∵CD∥AB∴CD∥面SAB而过CDG的平面交面SAB与FH

∴CD⊥面SAD则四边形CDHF是直角梯形

梯形的高DH==a

∴S梯形CDHF=a2

如图所示，以D为坐标原点建立直角坐标系，

则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），M（ ，0，），S（0，0，1）

（1）∵=(-1，0，0)，=(0，1，-1)

∴•=0

∴BC⊥SC；

（2）∵=(0，0，1)，=(-1，-1，1)

∴cos＜，＞=

∴SB与底面ABCD所成角的正切值为；

（3）=（ ，0，），=(0，1，-1)

∴cos＜，＞==

∴异面直线DM与SC所成角为30°

证明：（1）取SD中点E，连接AE，NE，

则NE=CD=AM，NE∥CD∥AM，

∴四边形AMNE为平行四边形，∴MN∥AE…（1分）

又∵MN⊄平面SAD，AE⊂平面SAD，

∴MN∥平面SAD…（3分）

（2）∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥CD，∵底面ABCD为矩形，∴AD⊥CD，

又∵SA∩AD=A，SA⊂平面SAD，AD⊂平面SAD，

∴CD⊥平面SAD，∴CD⊥SD

∴∠SDA即为二面角S-CD-A的平面角，

即∠SDA=45°…（5分）

∴△SAD为等腰直角三角形，∴AE⊥SD

∵CD⊥平面SAD，∴CD⊥AE，

又SD∩CD=D，SD⊂平面SCD，CD⊂平面SCD

∴AE⊥平面SCD∵MN∥AE，∴MN⊥平面SCD，

∵MN⊂平面SMC，

∴平面SMC⊥平面SCD…（8分）

（3）∵=λ，设AD=SA=a，则CD=λa

由（2）可得MN⊥平面SCD，∴SN即为SM在平面SCD内的射影

∴∠MSN即为直线SM与平面SCD所成角，

即∠MSN=30°…（9分）

而MN=AE=a，

∴Rt△SAM中，SM=，而MN=AE=a，

∴Rt△SAM中，由sin∠MSN=

得=，解得λ=2

当λ=2时，直线SM与平面SCD所成角为30°（14分）

（Ⅰ）如图，连接A1B，AB1，∵α⊥β，α∩β=l，AA1⊥l，BB1⊥l，

∴AA1⊥β，BB1⊥α． 则∠BAB1，∠ABA1分别是AB与α和β所成的角．

Rt△BB1A中，BB1=，AB=2，∴sin∠BAB1==．∴∠BAB1=45°．

Rt△AA1B中，AA1=1，AB=2，sin∠ABA1==，∴∠ABA1=30°．

故AB与平面α，β所成的角分别是45°，30°．           

（Ⅱ）∵BB1⊥α，∴平面ABB1⊥α．在平面α内过A1作A1E⊥AB1交AB1于E，

则A1E⊥平面AB1B．过E作EF⊥AB交AB于F，连接A1F，则由三垂线定理得A1F⊥AB，∴∠A1FE就是所求二面角的平面角．

在Rt△ABB1中，∠BAB1=45°，∴AB1=B1B=．∴Rt△AA1B中，A1B===． 由AA1•A1B=A1F•AB得 A1F===，

∴在Rt△A1EF中，sin∠A1FE==，∴二面角A1-AB-B1的余弦值是，