热门试卷

（1）证明：在菱形ABCD中，∵BD⊥AC，∴BD⊥AO，

∵EF⊥AC，∴PO⊥EF．

∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，且PO⊂平面PEF，

∴PO⊥平面ABFED，

∵BD⊂平面ABFED，∴PO⊥BD，

∵AO∩PO=O，∴BD⊥平面POA．

（2）由（1）可知：AC⊥BD，

∵∠DAB=60°，BC=4，∴BH=2，CH=2．

∵O为CH的中点，∴PO=．

如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz．

则O（0，0，0），A(3，0，0)，

B(，2，0)，D(，-2，0)，P(0，0，)．

∴=(，2，-)，=(0，-4，0)．

由=，得Q为AP的中点．

∴Q(，0，)．∴=(，0，)．

设平面PBD的法向量为=(x，y，z)，

则得，取x=1，得y=0，z=1．

∴=(1，0，1)．

设直线OQ与平面PBD所成的角为θ．

则sinθ=|cos＜，＞|===．

因此直线OQ与平面PBD所成的角的正弦值为．

（1）取PD中点Q，连AQ、QF，则AE∥QF

∴四边形AEFQ为平行四边形

∴EF∥AQ

又∵AQ在平面PAD内，EF不在平面PAD内

∴EF∥面PAD；

（2）证明∵CD⊥AD，CD⊥PA，PA∩AD=A

PA在平面PAD内，AD在平面PAD内

∴CD⊥面PAD

又∵AQ在平面PAD同

∴CD⊥AQ

∵EF∥AQ

∴CD⊥EF；

（3）解∵∠PDA=45°

∴△PAD为等腰直角三角形

∴AQ⊥PD

∴∠QAD=45°

即AQ与平面ABCD所成角为45°

又∵AQ∥EF

∴EF与平面ABCD所成角45°．