用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
共2973题

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题型：简答题

简答题

如图，在三棱锥-P-ABCD中，平面ABC⊥平面APC，AB=BC=AP=PC=，∠ABC=∠APC=90°，

（1）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；

（2）若动点M在底面三角形ABC上，二面角M-PA-C的余弦值为，求BM的最小值。

正确答案

解：（1）取AC中点O，因为AB=BC，

所以OB⊥OC，

∵平面ABC⊥平面APC，平面ABC∩平面APC=AC，

∴OB⊥平面PAC，

∴OB⊥OP，

以O为坐标原点，OB、OC、OP分别为 x、y、z轴

建立如图

所示空间直角坐标系，

因为AB=BC=PA=，

所以OB=OC=OP=1，

从而O（0，0，0），B（1，0，0），

A（0，-1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），

∴，

设平面PBC的法向量，

由得方程组，

取，

∴，

∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为。

（2）由题意平面PAC的法向量，

设平面PAM的法向量为，

∵，

又因为，

∴，

取，

，

∴，

∴n+1=3m或n+1=-3m（舍去），

∴B点到AM的最小值为垂直距离。

题型：简答题

简答题

如图，已知P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点，　

(Ⅰ)求证：EF∥平面PAD；　　

(Ⅱ)求证：EF⊥CD；　　

(Ⅲ)若∠PDA=45°，求EF与平面ABCD所成的角的大小。

正确答案

解：如图，建立空间直角坐标系A-xyz，

设AB=2a，BC=2b，PA=2c，

则A（0，0，0），B（2a，0，0），C（2a，2b，0），

D（0，2b，0），P（0，0，2c），

∵E为AB的中点，F为PC的中点，

∴E（a，0，0），F（a，b，c），

（Ⅰ）∵=（0，b，c），=（0，0，2c），

=（0，2b，0），

∴，

∴与共面，

又∵平面PAD，

∴EF∥平面PAD。

（Ⅱ）∵=（-2a，0，0），

∴=（-2a，0，0）·（0，b，c）=0，

∴EF⊥CD；

（Ⅲ）若∠PDA=45°，则有2b=2c，即b=c，

∴=（0，b，b），=（0，0，2b），

∴，

∴=45°，

∵AP⊥平面ABCD，

∴是平面ABCD的法向量，

∴EF与平面ABCD所成的角为

90°-=45°。

题型：简答题

简答题

如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E为BC的中点。

（1）求异面直线NE与AM所成角的余弦值；

（2）在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由。

正确答案

解：（1）如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标

依题意，得

∴

∵

所以异面直线NE与AM所成角的余弦值为。

（2）假设在线段AN上存在点S，使得ES⊥平面，

∵

可设

又

∴

由平面，得

即

故，

此时

经检验，当时，平面

故线段上存在点S，使得平面，

此时。

题型：简答题

简答题

已知空间四边形OABC 各边及对角线长都相等，E ，F 分别为AB ，OC 的中点，求异面直线OE 与BF所成角的余弦值．

正确答案

解：如图所示，设且|a|=|b|=|c|=1,

易知∠AOB=∠BOC=∠AOC=

则a·b=b·c=c·a=

因为=

所以，

所以OE·BF=

所以

所以异面直线OE与BF所成角的余弦值为

题型：简答题

简答题

在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点

(1)求直线AC与PB所成角的余弦值；

(2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC。

正确答案

解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)、、、D(0，1，0)、P(0，0，2)，

设与的夹角为θ，则cosθ=

∴直线AC与PB所成角的余弦值为

(2)由于点N在侧面PAB内，故可设N（x，0，z），

则，

由NE⊥平面PAC可得

即化简得

即点N的坐标为

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