- 用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
- 共2973题
四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2
（Ⅰ）证明SA⊥BC；
（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小。
正确答案
解：（I）作SO⊥BC垂足为O，
连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，
得SO⊥底面ABCD，
因为SA=SB，所以AO=BO，
又∠ABC=45°，
故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO，
由三垂线定理，得SA⊥BC；
（II）由（I）知SA⊥BC，
依题设AD∥BC，故SA⊥AD，
由AD=BC=2
又AO=AB
作DE⊥BC，垂足为E，
则DE⊥平面SBC，连结SE，
∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角，
所以，直线SD与平面SBC所成的角为
已知点E、F、G分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1、BC、AB的中点，
（1）求直线EF和平面ABCD所成角的正切值；
（2）求证：DG⊥EF；
（3）在棱B1C1上求一点M，使得DG⊥平面EFM。
正确答案
（1）解：在正方体AC1中，
∵AA1⊥AD，AA1⊥AB，
∴AA1⊥平面ABCD，连结AF，
则∠EFA就是EF与平面ABCD所成的角，
设正方体棱长为a，
∵点F是BC的中点，
∴AF=
而AE=
则在Rt△EAF中，tan∠EAF=
（2）证明：在正方形ABCD中，
∵G是AB的中点，F是BC的中点，
∴DG⊥AF，
∵EA⊥平面ABCD，由三垂线定理，
∴DG⊥EF；
（3）解：当点M在棱B1C1的中点时，DG⊥平面EFM；
证明如下：连结MF、EM，
∵F是BC的中点，
∴MF∥BB1，
∵BB1∥AA1，
∴MF∥AA1，
∵AA1⊥平面ABCD，
∴MF⊥平面ABCD，
∴MF⊥DG，
∵DG⊥EF，
∴DG⊥平面EFM。
如图，在四棱锥O-ABCD中，OA⊥底面ABCD，且底面ABCD是边长为2的正方形，且OA=2，M，N分别为OA，BC的中点。
（1）求直线MN与平面ABCD所成角的正切值；
（2）求点B到平面DMN的距离。
正确答案
解：（1）连接AN，则MN与平面ABCD所成角为∠MNA
在Rt△ABN中，AB=2，BN=1
∴
在Rt△MAN中，
∴
（2）由已知OA⊥底面ABCD可得
又由于在△ADM、△CDN中分别可求得
在△ABN和△AMN中分别可求得
在△AMN中，
∴
设点B到平面DMN的距离为d
则
∴
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AB⊥BB1，AC=BC=BB1，D为AB的中点，且CD⊥DA1。
（1）求证：BC1∥平面DCA1；
（2）求BC1与平面ABB1A1所成角的大小。
正确答案
解：（1）如图，连接AC1与A1C交于点K，连接DK
在△ABC1中，D，K为中点，
∴DK∥BC1又DK
∴BC1∥平面DCA1。
（2）如图，∵AC=BC，D为AB的中点，
∴CD⊥AB
又CD⊥DA1，AB∩DA1=D，
∴CD⊥平面ABB1A1取A1B1的中点E，又D为AB的中点，
∴DE，BB1，CC1平行且相等，
∴DCC1E是平行四边形，
∴C1E，CD平行且相等，
又CD⊥平面ABB1A1，
∴C1E⊥平面ABB1A1，
∴∠EBC1即所求角，
由前面证明知CD⊥平面ABB1A1，
∴CD⊥BB1，
又AB⊥BB1，AB∩CD=D，
∴BB1⊥平面ABC，
∴此三棱柱为直棱柱
设AC=BC=BB1=2，
∴
如图，α⊥β，α∩β=l，A∈α，B∈β，点A在直线l上的射影为A1，点B在l的射影为B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=
（1）直线AB分别与平面α，β所成角的大小；
（2）二面角A1-AB-B1的大小。
正确答案
解：（1）如图，连接A1B，AB1∵
∴AA1⊥β，BB1⊥α
则∠BAB1，∠ABA1分别是AB与α和β所成的角
Rt△BB1A中，BB1=
∴sin∠BAB1=
∴∠BAB1=45°
Rt△AA1B中，AA1=1，AB=2，
∴sin∠ABA1=
∴∠ABA1=30°
故AB与平面α，β所成的角分别是45°，30°。
（2）∵BB1⊥α，
∴平面ABB1⊥α
在平面α内过A1作A1E⊥AB1交AB1于E，则A1E⊥平面AB1B
过E作EF⊥AB交AB于F，连接A1F，
则由三垂线定理得A1F⊥AB，
∴∠A1FE就是所求二面角的平面角
在Rt△ABB1中，∠BAB1=45°，
∴AB1=B1B=
∴Rt△AA1B1中，AA1=A1B1=1，
∴
在Rt△AA1B中，
由AA1·A1B=A1F·AB得
A1F=
∴在Rt△A1EF中，sin∠A1FE=
∴二面角A-AB-B1的大小为arcsin
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