- 用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
- 共2973题
如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点．
（I）求证：MN∥平面PAD；
（Ⅱ）若∠PDA=45°，求MN与平面ABCD所成角的大小．
正确答案
（I）证明：如图，取PD的中点E，连结AE、EN
则有EN∥CD∥AM，且EN=
∴四边形AMNE是平行四边形．
∴MN∥AE．
∵AB⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，
∴MN∥平面PAD．…（6分）
（II）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD．
又∠PDA=45°，E是PD中点，
∴∠EAD=45°又MN∥AE
∴MN与平面ABCD所成的角等于∠EAD，
∴MN与平面ABCD所成的角等于45°…（14分）
如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是棱形，SA⊥平面ABCD，M，N分别为SA，CD的中点．
（1）证明：直线MN∥平面SBC；
（2）证明：平面SBD⊥平面SAC；
（3）当SA=AD，且∠ABC=60°时，求直线MN与平面ABCD所成角的大小．
正确答案
（Ⅰ）证明：如图，取SB中点E，连接ME、CE，
因为M为SA的中点，
所以ME∥AB，且ME=
因为N为菱形ABCD边CD的中点，
所以CN∥AB且CN=
所以ME∥CN，且ME=CN，
所以四边形MECN是平行四边形，
所以MN∥EC，
又因为EC⊂平面SBC，ME⊄平面SBC，
所以直线MN∥平面SBC．（5分）
（Ⅱ）证明：如图，连接AC、BD，相交于点O，
因为SA⊥底面ABCD，
所以SA⊥BD．
因为四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD．
又SA∩AC=A，
所以BD⊥平面SAC．
又BD⊂平面SBD，
所以平面SBD⊥平面SAC．（10分）
（Ⅲ）如图，连接AN，因为MA⊥平面ABCD，
所以AN是MN在平面ABCD上的射影，
所以∠ANM是直线MN与平面ABCD所成的角．
设SA=AD=DC=2，
由∠ABC=60°，
可知AN=
所以在Rt△AMN中∠ANM=30°，
即直线MN与平面ABCD所成的角为30°．（14分）
已知四面体S-ABC各棱长都为1，则棱SA与平面ABC所成的角的余弦值为______．
正确答案
设四面体 的棱长为a，过S作SM⊥平面ABC，垂足为M，
则M为三角形ABC的中心，
连接AM，则可得∠SAM即为直线与平面所成的角
在Rt△SAM中，可知SA=a，AM=
∴∠SAM=arccos
故答案为：arccos
如图，在等腰梯形PDCB中，PB=3，DC=1，PD=BC=
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）求二面角P-DC-B的大小；
（3）若M是侧棱PB中点，求直线CM与平面PAB所成角的正弦值．
正确答案
证明：（1）在梯形PDCB中，PA⊥AD
又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，PA⊂面PAD
∴PA⊥面ABCD
（2）由（1）得：PA⊥平面ABCD
又CD⊥AD，
∴CD⊥PD
∴∠PDA就是二面角P-DC-B的平面角
在Rt△PAD中，PA=AD=1，
∴∠PDA=45°
即二面角P-DC-B的大小为45°．
（3）作CE∥AD交AB于E点，连ME
∵AD⊥AB
∴CE⊥AB
∵PA⊥平面ABCD
∴面PAB⊥面ABCD
∴CE⊥面PAB，
∴∠CME是CM与平面PAB所成的角
∵CE=1，ME=
∴CM=
∴sin∠CME=
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=1，CC1=2，点D是AA1的中点。
（1）证明：平面BC1D⊥平面BCD；
（2）求CD与平面BC1D所成角的正切值。
正确答案
（1）证明：
∴
∴面
由于
∴
∴
又
∴
∴
（2）解：∵平面
过点C作
∴
∴∠CDH的大小就是CD与平面
在
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