热门试卷

解：（Ⅰ）设正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为x．取BC中点E，连接AE．

∵△ABC是正三角形，

∴AE⊥BC．

又底面ABC⊥侧面BB1C1C，且两平面交线为BC，

∴AE⊥侧面BB1C1C．

连接ED，则∠ADE为直线AD与侧面BB1C1C所成的角．

∴∠ADE=45°．

在Rt△AED中，，

解得．

∴此正三棱柱的侧棱长为．

（Ⅱ）过E作EF⊥BD于F，连接AF．

∵AE⊥侧面BB1C1C，

∴EF是AF在平面BCD内的射影．

由三垂线定理，可知AF⊥BD．

∴∠AFE为二面角A﹣BD﹣C的平面角．

在Rt△BEF中，EF=BEsin∠EBF，又BE=1， ，

∴．又，∴在Rt△AEF中，．

故二面角A﹣BD﹣C的大小为arctan3．

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，BD⊥平面AEF，

∴平面AEF⊥平面ABD，且交线为AF，过E作EG⊥AF于G，则EG⊥平面ABD．

∴EG的长为点E到平面ABD的距离．

在Rt△AEF中，．

∵E为BC中点，

∴点C到平面ABD的距离为．

解：（1）连接OC，由已知，∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角。

设AB中点为D，连接PD，CD

因为AB=BC=CA，

所以CD⊥AB，

因为∠APB=90°，∠PAB=60°，

所以△PAD为等边三角形，不妨设PA=2，则OD=1，OP=，AB=4

所以CD=2，OC===

在Rt△OCP中，tan∠OCP===

故直线PC与平面ABC所成的角的大小为arctan。

（2）由（1）知，以O为原点，建立空间直角坐标系．则=（1，0，），=（2，2，0）。

设平面APC的一个法向量为=（x，y，z），

则由得出即，

取x=-，则y=1，z=1，所以=（-，1，1）

设二面角B-AP-C的平面角为β，易知β为锐角

而面ABP的一个法向量为=（0，1，0），

则cosβ===

故二面角B-AP-C的大小为arccos。