热门试卷

（1）证明：连接AC交QB与E，

∵AQ∥BC，且=，

∴=，

∵M是线段PC的一个靠近点P的一个三分点，

∴=，

∴PA∥ME，

∵PA⊄平面MGB，ME⊂平面MGB，

∴PA∥平面MGB．

（2）连接BD，

∵AD=AB，∠BAD=60°，

∴AB=BD，

∵△PAD是等边三角形，PQ是∠APD线的角平分线，

∴AQ=QD，

∴QB⊥AD，

∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴BQ⊥平面PAD，

∴∠BPQ为所求角，

∵△PAD，△ABD均为正三角形，且边长相等，

∴PQ=QB，

又∵PQ⊥QB，

∴∠BPQ=45°．

（3）∵QB⊥平面PAD，PA⊂平面PAD，

∴QB⊥PA，

∵PA∥EM，

∴QB⊥ME，

做EF∥AD，连结ME，则EF⊥QB，

∴∠MEF为二面角M-BQ-C的平面角，

∵ME∥PA，EF∥AD，M为三等分点，

∴F也是CD的一个三等分点，

∴ME=PA，EF=AD，MF=PD，

∵PA=AD=PD，

∴EM=EF=MF，即∠MEF=60°．

解：（1）∵BC=2，AB=，∠ABC=45°，

∴AC=，则∠ACD=90°，

故以C为坐标原点，以CD，CA，分别为x，y轴，建立空间直角坐标系如图：

∵侧面PBC是等边三角形，

∴C（0，0，0），D（，0，0），A（0，，0），

则==（，，0），即B（，，0），

则BC的中点F（，，0），则P（，，），

则=（，，），=（2，-，0），

则•=（2，-，0）•（，，）=-3，

||=2，||=，

则cos＜＞==．

故异面直线BD，PC所成角的余弦值为．

（2设平面PAB的法向量为=（x，y，z），

则=（，0，0），=（，-，），

则由，

令z=1，则x=0，y=，即=（0，，1），

∵E在线段PC上，

∴设=m，E（x，y，z）

则=（m，m，-m），

即（x+，y-，z-）=（m，m，-m），

解得x=m-，y=-m，z=-m，

即E（m-，-m，-m），

则=（m-，-m，-m），则||=，

∵AE与平面PAB所成角的正弦值为，

∴|cos＜＞|==

证明：（I）∵ABCD是正方形

∴AD⊥AB，DC⊥BC，

即AD⊥AE，DC⊥CF，折起后，即A′D⊥A′E，A′D⊥A′F

∴A′D⊥面A′EF

∴A′D⊥EF

证明：（II）取EF中点G，连接A′G，DG，过A′做DG的垂线，交DG于H．

∵G是中点，且A′E=A′F=1，DE=DF=

∴A′G⊥EF，GD⊥EF

∴EF⊥面A′GD，

∴EF⊥A′H

又因为A′H⊥DG   所以A′H⊥面DEF

所以∠A′DG即所求的A′D与平面DEF所成角，

又因为A′D⊥面A′EF，所以A′D⊥A′G

所以tan∠A′DG=，

由题意可知，A′G=，A′D=2，

所以tan∠A′DG=

已知a∈R，设函数．