热门试卷

（1）证明：取CD的中点G，连接AG、GF，

则GF∥DE，

∵AC=AD，∴AG⊥GD，

∵DE⊥平面ACD，∴DE⊥CD，

∴GF⊥CD，

∴CD⊥平面AGF．

∵AF⊂平面AGF，∴AF⊥CD；

（2）解：法一、如图建立空间直角坐标系G-xyz，

则B（0，1，），C（-1，0，0），E（1，2，0），

，

设平面CBE的法向量为，

则，取x=1，则，

∴．

∴直线AC与平面CBE所成角的大小的正弦值为．

解法二、∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE．

延长DA、EB交于点P，连结PC，

∵AB=1，DE=2，∴A为PD的中点，

又G为CD的中点，∴PC∥AG．

∴PC⊥CD，PC⊥DE，∴PC⊥平面CDE．

∵点A到平面PCE的距离即为点D到平面PCE的距离的一半，即．

设直线AC与平面CBE所成角为θ，

则．

（1）证明：由ABCD是正方形可得：BD⊥AC，

由正方体的性质可得：AA1⊥BD，

而AA1∩AC=A，

∴BD⊥平面AA1C1C，

而BD⊂平面A1BD，

∴：平面AA1C1C⊥平面A1BD．

（2）解：连接C1B，交B1C于点O，连接A1O．

则BO⊥平面A1B1CD，

∴∠OA1B为直线A1B与平面A1B1CD所成的角．

∵sin∠OA1B==，

∴∠OA1B=．

∴直线A1B与平面A1B1CD所成的角．

解：根据条件知，AB，AD，AP三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：

A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）；

M在棱PD上，设M（0，y，2-y），则：，；

∵BM⊥PD；

∴；

∴y=1，M（0，1，1）；

∴，；

设平面ACM的法向量为，则：

；

取y1=1，则x1=-2，z1=-1，∴；

设BM与平面ACM所成角为θ，则：

=；

∴直线BM与平面ACM所成的角的正弦值为．

解：（Ⅰ）证明：作FM∥CD交PC于M．

∵点F为PD中点，

∴．

∵点E为AB的中点．

∴，

又AE∥FM，

∴四边形AEMF为平行四边形，

∴AF∥EM，

∵AF⊄平面PEC，EM⊂平面PEC，

∴直线AF∥平面PEC．

（Ⅱ）已知∠DAB=60°，

进一步求得：DE⊥DC，

则：建立空间直角坐标系，

则 P（0，0，1），C（0，1，0），E（，0，0），

A（，-，0），B（，，0）．

所以：，．

设平面PAB的一个法向量为：，．

∵，

则：，

解得：，

所以平面PAB的法向量为：

∵，

∴设向量和的夹角为θ，

∴cosθ=，

∴PC平面PAB所成角的正弦值为．