用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
共2973题

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题型：简答题

简答题

如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．

（Ⅰ）求证：OD∥平面PAB；

（Ⅱ）当k=时，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；

（Ⅲ）当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？

（注：若△ABC的三点坐标分别为A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），C（x3，y3，z3），则该三角形的重心坐标为：．）

正确答案

（Ⅰ）证明：∵点O、D分别是AC、PC的中点，∴OD∥PA．

又∵OD⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，

∴OD∥平面PAB．

（Ⅱ）如图所示距离空间直角坐标系．

当k=时，不妨设OB=2，则OA=OC=2，AB=2，∴AP=，

∴OP=．

∴A（0，-2，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，），

∴，，．

设平面PBC的法向量为，

则即

令z=1，则=y．∴．

设直线PA与平面PBC所成的角为θ，

则==．

∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为．

（Ⅲ）不妨设OB=2，则AO=OC=2，AB=BC==kPA，∴，可得=．

∴A（0，-2，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，

），，．

设G（x，y，z）为△PBC的重心，则G．

假设点O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心，则OG⊥平面PBC．

∴，即，又k＞0，解得k=1．

∴当k=1时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心．

解析

（Ⅰ）证明：∵点O、D分别是AC、PC的中点，∴OD∥PA．

又∵OD⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，

∴OD∥平面PAB．

（Ⅱ）如图所示距离空间直角坐标系．

当k=时，不妨设OB=2，则OA=OC=2，AB=2，∴AP=，

∴OP=．

∴A（0，-2，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，），

∴，，．

设平面PBC的法向量为，

则即

令z=1，则=y．∴．

设直线PA与平面PBC所成的角为θ，

则==．

∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为．

（Ⅲ）不妨设OB=2，则AO=OC=2，AB=BC==kPA，∴，可得=．

∴A（0，-2，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，

），，．

设G（x，y，z）为△PBC的重心，则G．

假设点O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心，则OG⊥平面PBC．

∴，即，又k＞0，解得k=1．

∴当k=1时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心．

题型：单选题

单选题

如图，在正三棱锥A-BCD中，M、N分别是AD、CD的中点，BM⊥MN，则正三棱锥的侧面与底面所成角的正切值为（　　）

正确答案

解析

解：设点A在面BCD内的射影为A′

∵三棱锥A-BCD为正三棱锥

∴AB=AD，△BCD为正三角形，A′为△BCD中心

∴CD⊥BA′，∵AA′⊥面BCD

∴CD⊥AB，

∵M、N分别是AD、CD的中点

∴MN∥AC，

∵BM⊥MN，

∴AC⊥BM

又∵BD⊥平面ACA‘，BD⊂平面ACA'

∴AC⊥BD，

∵BD∩BM=B

∴AC⊥面BMD，

∵AD⊂面BMD

∴AC⊥AD

连接AN，BN，则BN⊥CD，AN⊥CD

∴∠ANB为正三棱锥的侧面与底面所成角

设CD=2a，则

∴∠BAN=90°

在△ABN中，

故选D．

题型：单选题

单选题

已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，，且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O的表面积等于（　　）

A12π

B16π

C9π

D24π

正确答案

解析

解：设两圆的公共弦长为AB，C为AB的中点，连结KC、OC

则OC⊥AB，KC⊥AB，

∴∠KCO就是圆O与圆K所在的平面所成的二面角的平面角，即∠KCO=60°

∵Rt△KOC中，，∴OC==

Rt△AOC中，OA2=OC2+AC2，即R2=R2+3，得R=2

因此，球O的表面积S=4πR2=16π

故选：B

题型：简答题

简答题

一个多面体的三视图及直观图如图所示，M，N分别是A1B，B1C1的中点；

（Ⅰ）求证：AC1⊥平面A1BC；

（Ⅱ）求直线BC1和平面A1BC所成角的大小．

正确答案

（Ⅰ）证明：由三视图可知，在这个多面体的直观图中，AA1⊥平面ABC，且AC⊥BC，AC=BC=CC1=a，

连接AC1，AB1，

∵BC⊥平面ACC1A1，∴BC⊥AC1

在正方形ACC1A1中，A1C⊥AC1

∵BC∩A1C=C

∴AC1⊥平面A1BC；

（Ⅱ）设直线AC1与A1C相交于点Q，连接BQ，则∠QBC1是直线BC1和平面A1BC所成角

∵BC⊥QC，BC=a，CQ=

∴=

∵

∴在直角△QBC1中，∠QBC1=30°

解析

（Ⅰ）证明：由三视图可知，在这个多面体的直观图中，AA1⊥平面ABC，且AC⊥BC，AC=BC=CC1=a，

连接AC1，AB1，

∵BC⊥平面ACC1A1，∴BC⊥AC1

在正方形ACC1A1中，A1C⊥AC1

∵BC∩A1C=C

∴AC1⊥平面A1BC；

（Ⅱ）设直线AC1与A1C相交于点Q，连接BQ，则∠QBC1是直线BC1和平面A1BC所成角

∵BC⊥QC，BC=a，CQ=

∴=

∵

∴在直角△QBC1中，∠QBC1=30°

题型：简答题

简答题

在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，PA=AD=2，AB=BC=1，Q为PD中点．

（Ⅰ）求证：PD⊥BQ；

（Ⅱ）求直线BQ与平面PCD所成角的正弦值．

正确答案

（Ⅰ）证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，

又AD⊥AB，如图，建立以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴的空间直角坐标系．…（2分）

由已知，PA=AD=2，AB=BC=1，AD∥BC．

所以A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）…（4分）

又Q为PD中点，所以Q（0，1，1）．

所以=（0，2，-2），=（-1，1，1），

所以•=0，…（6分）

所以PD⊥BQ．…（7分）

（Ⅱ）解：设平面PCD的法向量为=（a，b，c），

则∵=（0，2，-2），=（-1，1，0），

∴，…（9分）

令c=1，得a=b=1，∴=（1，1，1）．…（11分）

∵=（-1，1，1），

∴直线BQ与平面PCD所成角的正弦值为=．…（14分）

解析

（Ⅰ）证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，

又AD⊥AB，如图，建立以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴的空间直角坐标系．…（2分）

由已知，PA=AD=2，AB=BC=1，AD∥BC．

所以A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）…（4分）

又Q为PD中点，所以Q（0，1，1）．

所以=（0，2，-2），=（-1，1，1），

所以•=0，…（6分）

所以PD⊥BQ．…（7分）

（Ⅱ）解：设平面PCD的法向量为=（a，b，c），

则∵=（0，2，-2），=（-1，1，0），

∴，…（9分）

令c=1，得a=b=1，∴=（1，1，1）．…（11分）

∵=（-1，1，1），

∴直线BQ与平面PCD所成角的正弦值为=．…（14分）

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