- 用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
- 共2973题
A
B
C
D
正确答案
解析
∵面ABCD⊥面ABEF且交于AB，∴CB⊥面ABEF．
∵AG，GB⊂面ABEF，∴CB⊥AG，CB⊥BG，
又AD=2a，AF=a，ABEF是矩形，G是EF的中点，
∴AG=BG=
∵BG∩BC=B，∴AG⊥平面CBG，而AG⊂面AGC，故平面AGC⊥平面BGC．
在平面BGC内作BH⊥GC，垂足为H，则BH⊥平面AGC，∴∠BGH是GB与平面AGC所成的角．
在Rt△CBG中，BH=
∵BG=
故选C．
写出二面角的平面角的定义．
正确答案
解：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．
解析
解：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．
（1）PB与CD所成角的大小；
（2）二面角C-PB-D的大小．
正确答案
解：根据题意，可知PD=CD=1，BC=
则C（0，1，0），B（
（1）
即PB与CD所成的角为60°；
（2）由
设
同理可求得平面PBD的一个法向量为
因为二面角C-PB-D为锐二面角，于是二面角C-PB-D为arccos
解析
解：根据题意，可知PD=CD=1，BC=
则C（0，1，0），B（
（1）
即PB与CD所成的角为60°；
（2）由
设
同理可求得平面PBD的一个法向量为
因为二面角C-PB-D为锐二面角，于是二面角C-PB-D为arccos
（1）求证：E，B，F，D1四点共面；
（2）求点B1到平面EBFD1的距离；
（3）用θ表示截面EBFD1和面BCC1B1所成锐二面角大小，求tanθ．
正确答案
解：（1）证明：如图：在DD1上取一点N使得DN=1，
连接CN，EN，则AE=DN=1．CF=ND1=2、
因为CF∥ND1，
所以四边形CFD1N是平行四边形，
所以D1F∥CN．
同理四边形DNEA是平行四边形，所以EN∥AD，且EN=AD，
又BC∥AD，且AD=BC，所以EN∥BC，EN=BC，
所以四边形CNEB是平行四边形，
所以CN∥BE，
所以D1F∥BE，
所以E，B，F，D1四点共面．
（2）设向量
因为
所以
取z=3得x=1，y=2，所以
又因为
所以点B1到平面EBFD1的距离为：d=
（3）由（2）知
又
所以cosθ
解析
解：（1）证明：如图：在DD1上取一点N使得DN=1，
连接CN，EN，则AE=DN=1．CF=ND1=2、
因为CF∥ND1，
所以四边形CFD1N是平行四边形，
所以D1F∥CN．
同理四边形DNEA是平行四边形，所以EN∥AD，且EN=AD，
又BC∥AD，且AD=BC，所以EN∥BC，EN=BC，
所以四边形CNEB是平行四边形，
所以CN∥BE，
所以D1F∥BE，
所以E，B，F，D1四点共面．
（2）设向量
因为
所以
取z=3得x=1，y=2，所以
又因为
所以点B1到平面EBFD1的距离为：d=
（3）由（2）知
又
所以cosθ
（1）试用反证法证明直线DE与直线CP是异面直线；
（2）若PA=PB=PC=4，F为棱AB上的点，且
正确答案
设DE与CP都在平面α上．∵P∈α，E∈α，∴PE⊊α．∵A∈PE，∴A∈α．
又∵C∈α，D∈α，∴CD⊊α．∵B∈CD，∴B∈α．
∴点A、B、C、P都在平面α上，这与P、A、B、C不共面（P-ABC是三棱锥）矛盾，于是，假设不成立．（5分）
所以直线DE与CP是异面直线．（6分）
（2）按如图所示建立空间直角坐标系． （7分）
由题可知，A（4，0，0）、B（0，4，0）、C（0，0，4），进一步有D（0，2，2）、
E（2，0，0）、F（3，1，0），且平面EFB的一个法向量为
设平面DEF的一个法向量为
取x=1，得y=-1，z=2．
所以
记
结合图形可以判断二面角D-EF-B是锐角，因此二面角D-EF-B的大小为
解析
设DE与CP都在平面α上．∵P∈α，E∈α，∴PE⊊α．∵A∈PE，∴A∈α．
又∵C∈α，D∈α，∴CD⊊α．∵B∈CD，∴B∈α．
∴点A、B、C、P都在平面α上，这与P、A、B、C不共面（P-ABC是三棱锥）矛盾，于是，假设不成立．（5分）
所以直线DE与CP是异面直线．（6分）
（2）按如图所示建立空间直角坐标系． （7分）
由题可知，A（4，0，0）、B（0，4，0）、C（0，0，4），进一步有D（0，2，2）、
E（2，0，0）、F（3，1，0），且平面EFB的一个法向量为
设平面DEF的一个法向量为
取x=1，得y=-1，z=2．
所以
记
结合图形可以判断二面角D-EF-B是锐角，因此二面角D-EF-B的大小为
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