- 用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
- 共2973题
正确答案
解析
解：连接A1C1，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，
∴A1A⊥平面A1B1C1D1，则∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成角．
在△AC1A1中，sin∠AC1A1=
故答案为：
在三棱柱ABC-A1B1C1中，各侧面均为正方形，侧面AA1C1C的对角线相交于点A，则BM与平面AA1C1C所成角的大小是______．
正确答案
解析
解：∵三棱柱ABC-A1B1C1中，各侧面均为正方形
∴三棱柱的侧棱垂直于底面，三棱柱为直三棱柱
取AC中点D，连接BM，DM，则BD⊥平面AA1C1C，∴∠BMD为BM与平面AA1C1C所成
设正方形的边长为2a，则DM=a，BM=
∴tan∠BMD=
∴∠BMD=
故答案为：
（1）求证：A1C1∥面ABCD；
（2）求AC1与底面ABCD所成角的正切值．
正确答案
（1）证明：连接AC，则四边形ACC1A1是平行四边形，
∴A1C1∥AC，
∵A1C1⊄面ABCD，AC⊂面ABCD，
∴A1C1∥面ABCD；
（2）根据长方体的性质，可得AC是AC1在底面ABCD的射影，∠C1AC为对角线AC1与底面ABCD所成角．
∵AB=AD=1，AA1=2，
∴AC=
在Rt△C1AC中，tan∠C1AC=
解析
（1）证明：连接AC，则四边形ACC1A1是平行四边形，
∴A1C1∥AC，
∵A1C1⊄面ABCD，AC⊂面ABCD，
∴A1C1∥面ABCD；
（2）根据长方体的性质，可得AC是AC1在底面ABCD的射影，∠C1AC为对角线AC1与底面ABCD所成角．
∵AB=AD=1，AA1=2，
∴AC=
在Rt△C1AC中，tan∠C1AC=
（1）求直线C1B与平面A1ABB1所成角的正弦值；
（2）求证：平面AEC1⊥平面ACC1A1；
（3）求点C1到平面AEC的距离．
正确答案
（1）解：取A1B1中点M，连接C1M，BM．
∵三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，
∴C1M⊥A1B1，C1M⊥BB1．
∴C1M⊥平面A1ABB1．
∴∠C1BM为直线C1B与平面A1ABB1所成的角．
在Rt△BMC1中，C1M=
∴sin∠C1BM=
（2）证明：取A1C1的中点D1，AC1的中点F，连接B1D1、EF、D1F．
则有D1F
∴D1F
则四边形D1FEB1是平行四边形，
∴EF
由于三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，
∴B1D1⊥A1C1．
又∵平面A1B1C1⊥平面ACC1A1于A1C1，且B1D1⊂平面A1B1C1，
∴B1D1⊥平面ACC1A1，∴EF⊥平面ACC1A1．
∵EF⊂平面AEC1，∴平面AEC1⊥平面ACC1A1．
（3）由（2）知，EF⊥平面AC1，则EF是三棱锥E-ACC1的高．
由三棱柱各棱长都等于a，则EC=AE=EC1=
∴EF=
∵V
则
即
∴h=
解析
（1）解：取A1B1中点M，连接C1M，BM．
∵三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，
∴C1M⊥A1B1，C1M⊥BB1．
∴C1M⊥平面A1ABB1．
∴∠C1BM为直线C1B与平面A1ABB1所成的角．
在Rt△BMC1中，C1M=
∴sin∠C1BM=
（2）证明：取A1C1的中点D1，AC1的中点F，连接B1D1、EF、D1F．
则有D1F
∴D1F
则四边形D1FEB1是平行四边形，
∴EF
由于三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，
∴B1D1⊥A1C1．
又∵平面A1B1C1⊥平面ACC1A1于A1C1，且B1D1⊂平面A1B1C1，
∴B1D1⊥平面ACC1A1，∴EF⊥平面ACC1A1．
∵EF⊂平面AEC1，∴平面AEC1⊥平面ACC1A1．
（3）由（2）知，EF⊥平面AC1，则EF是三棱锥E-ACC1的高．
由三棱柱各棱长都等于a，则EC=AE=EC1=
∴EF=
∵V
则
即
∴h=
A
B
C
D
正确答案
解析
解：∵直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°
∴A1C1⊥CC1，A1C1⊥B1C1，
∵CC1∩B1C1，
∴A1C1⊥面BCC1，
∴直线A1B与平面BB1C1C所成角为∠A1BC1，
∵CA=CB=CC1=1，AB=
∴Rt△A1C1B中A1C1=1，A1B=
∴sin∠A1BC1=
故选：C
扫码查看完整答案与解析