热门试卷

（1）解法一：过点P作PE⊥A1D1，垂足为E，连接B1E（如图），则PE∥AA1，

∴∠B1PE是异面直线AA1与B1P所成的角．

在Rt△AA1D中，∵∠AD1A1=60°，∴∠A1AD1=30°，

∴A1B1=A1D1=AD1=2，A1E=A1D1=1．

又PE=AA1=．

∴在Rt△B1PE中，B1P==2，

cos∠B1PE===．

∴异面异面直线AA1与B1P所成角的余弦值为．

解法二：以A1为原点，A1B1所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图所示，则A1（0，0，0），A（0，0，2），B1（2，0，0），P（0，1，），∴=（0，0，2），=（-2，1，），

∴cos＜，＞==

∴异面直线AA1与B1P所成角的余弦值为．

（2）由（1）知，B1A1⊥平面AA1D1，

∴∠B1PA1是PB1与平面AA1D1所成的角且tan∠B1PA1==，

当A1P最小时，tan∠B1PA1最大，这时A1P⊥AD1，由A1P==，得tan∠B1PA1=，

即PB1与平面AA1D1所成角的正切值的最大值为．

解：如图，PM⊥AC，PN⊥BC，PM=PN=，过P作平面ABC的垂线PO，O为垂足，连接OM，ON，CO，则：∠PCO为PC和平面ABC所成角，且OM=ON；

PO⊥平面ABC，AC⊂平面ABC；

∴AC⊥PO，又AC⊥PM；

∴AC⊥平面PMO，OM⊂平面PMO；

∴AC⊥OM，同理BC⊥ON；

∴CO为∠ACB的平分线，∴∠NCO=45°；

在Rt△PCN中，PC=24，PN=；

∴；

∴；

∴在Rt△PNO中，PO=；

∴在Rt△PCO中，sin∠PCO=；

∴∠PCO=30°；

∴PC与平面ABC所成角为30°．

解：（Ⅰ）

连接SO，显然∴SO⊥BC，

设SB=a，则SO=，AO=，SA=a

∴SO2+OA2=SA2，∴SO⊥OA，

又∴BC∩OA=0，∴SO⊥平面ABC．

（Ⅱ）以O为原点，以OC所在射线为x轴正半轴，以OA所在射线为y轴正半轴

以OS所在射线为z轴正半轴建立空间直角坐标系．

则有O（0，0，0），

，，，，

∴

∴，

∴，

∴异面直线SC与AB所成角的余弦值为，

（Ⅲ）假设存在E满足条件，设（0≤λ≤1），

则，

．

设面SCE的法向量为=（x，y，z），

由，得

，．

因为OA⊥面ABC，所以可取向量=（0，1，0）为面SBC的法向量．

所以，，

解得，．

所以，当BE：BA=1：2时，二面角B-SC-E的余弦值为．