热门试卷

（1）证明：∵DC⊥BC，且平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，

∴DC⊥平面ABC，

又AB⊂平面ABC，

∴DC⊥AB．…（5分）

（2）解：过C作CE⊥AB于E，连接ED，

∵AB⊥CD，AB⊥EC，CD∩EC=C，

∴AB⊥平面ECD，

又DE⊂平面ECD，∴AB⊥ED，

∴∠CED是二面角D-AB-C的平面角，…（9分）

设CD=a，则BC==，

∵△ABC是正三角形，

∴EC=BCsin60°=，

在Rt△DEC中，tan∠DEC=．…（13分）

（Ⅰ）证明：在三角形ABC中，AC=AB=，BC=，

∴AC2+AB2=BC2，

∴AC⊥AB，

∵PA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，

∴PA⊥AB，

∵PA∩AC=A，

∴AB⊥平面PAC，

∵DF⊂面PAC，

∴AB⊥DF；

（Ⅱ）解：∵AB=，∠PBA=，

∴PA=3，

∵PD：PA=PE：PB=PF：PC=1：3

∴PD=PPF=1，PA=PB=PC=3，

以A为原点，AC，AB，AP分别为x，y，z轴建立坐标系，则A（0，0，0），C（，0，0），B（0，，0），E（0，，2），F（，0，2）

设平面AEF的法向量为=（x，y，z），则

∵=（0，，2），=（，0，2）

∴，∴=（1，1，-）．

∵DO⊥平面ABC，

∴平面ABC的法向量为=（0，0，3）

∵=-，||=，||=3，平面ABC与平面AEF所成角为θ，

∴cosθ=||=．

证明：（1）∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，

∴PA⊥CD．

又∵CD⊥AD，CD⊥平面PAD．

∴CD⊥PD．（4分）

（2）取PD中点M，连接FM，AM，

∵F为PC中点

∴FM∥CD，

∵E为AB中点，ABCD为矩形，

∴AE∥CD，，

∴AE∥FM，AE=FM，

∴AEFM是平行四边形，

∴EF∥AM，

∵AM⊂平面PAD，

∴EF∥平面PAD，（8分）

解：（3）取CD中点G，连接FG，EG

∵E，G为矩形ABCD中AB，CD中点，

∴EG⊥CD．

∵F，G为PC，CD中点，

∴FG∥PD，，

∵PD⊥CD，

∴FG⊥CD．

∴∠FGE为二面角P-CD-A的平面角

∵∠PAD=90°，M为PD中点，

∴EF=AM=PD，

∴EF=FG

又∵FG⊥CD，EG⊥CD，FG∩EG=G，

∴CD⊥平面EFG，

∵EF⊂平面EFG，

∴CD⊥EF，

∵FG⊂面PCD，CD⊂面PCD，FG∩CD=G，

∴当EF⊥FG即∠EFG=90°时，EF⊥面PCD，此时∠FGE=45°（12分）

解．（1）取PA中点G，连接EG、BG，

∵底面ABCD为正方形，

∴BC⊥AB，又BC⊥PB，

∴BC⊥平面PAB，

∴BC⊥PA．

同理CD⊥PA，

∴PA⊥平面ABCD．

过A作AH⊥BG于H，连接HE、AE．  

∵BC⊥面PAB，∴AH⊥面GBCE

∵底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=2，E为PD中点

∴CE=，

∴AE⊥EC，

∴HE⊥EC

∴∠AHE为二面角B-EC-A的平面角，

∵AG=1，AB=2，

∴BG=，

∴由等面积，可得AH==，

∵AE=

∴在Rt△AHE中，，

∴二面角B-EC-A的正弦值为；

（2）设存在点F满足题意，过D作DM⊥AF于M，连PF，则DM⊥面APF．

∵E为PD为中点，E到面PAF距离为

∴DM=，由平面几何知识知△DAM∽△AFB，求得AF=

∴BF=1，F为BC中点，

∴存在满足题意的点F．