用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
共2973题

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题型：简答题

简答题

如图所示，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4，E是棱CC1上的点，且CE=1．

（1）求证BE⊥B1C；

（2）求直线A1B与直线B1C所成角的正弦值．

正确答案

解：（1）如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，

则可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），

A1（2，0，4），B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4），E（0，2，1），

∴=（-2，0，1），=（-2，0，-4）．

∴•=4+0-4=0

∴BE⊥B1C

（2）由（1）可得=（-2，0，-4），=（0，2，-4），

∴cos＜，＞===

∴二直线成角的正弦值为

解析

解：（1）如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，

则可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），

A1（2，0，4），B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4），E（0，2，1），

∴=（-2，0，1），=（-2，0，-4）．

∴•=4+0-4=0

∴BE⊥B1C

（2）由（1）可得=（-2，0，-4），=（0，2，-4），

∴cos＜，＞===

∴二直线成角的正弦值为

题型：简答题

简答题

如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1（即底面为正方形的直四棱柱）中，AA1=2AB=4，点 E 在 CC1 上且 C1E=3EC．

（1）证明：A1C丄平面BED；

（2）求直线A1C与平面A1DE所成角的正弦值．

正确答案

（1）证明：如图，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立空间直角坐标系，

则A1（2，0，4），B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），E（0，2，1）

∴，，，

∵，

，

∴，，

∴A1C丄平面BED．

（2）解：∵，，

设平面A1DE的法向量为，

∵，，

∴，

取，=（-2，2，-4），

设直线A1C与平面A1DE所成角为θ，

则sinθ=|cos＜，＞|=||=，

∴直线A1C与平面A1DE所成角的正弦值为．

解析

（1）证明：如图，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立空间直角坐标系，

则A1（2，0，4），B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），E（0，2，1）

∴，，，

∵，

，

∴，，

∴A1C丄平面BED．

（2）解：∵，，

设平面A1DE的法向量为，

∵，，

∴，

取，=（-2，2，-4），

设直线A1C与平面A1DE所成角为θ，

则sinθ=|cos＜，＞|=||=，

∴直线A1C与平面A1DE所成角的正弦值为．

题型：单选题

单选题

如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是（　　）

正确答案

解析

解：以DA，DC，DD1所在直线方向x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则可得A1（1，0，2），E（0，0，1），G（0，2，1），F（1，1，0）

∴=（-1，0，-1），=（1，-1，-1）

设异面直线A1E与GF所成角的为θ，

则cosθ=|cos＜，＞|=0，

故选：D

题型：单选题

单选题

若向量=（1，λ，2），=（-2，1，1），，夹角的余弦值为，则λ等于（　　）

B-1

C±1

正确答案

解析

解：cos＜，＞===．

解得λ=1．

故选A．

题型：填空题

填空题

正方体AC1中，S，T分别是棱AA1，A1B1上的点，如果∠TSC=90°，那么∠TSB=______．

正确答案

90°

解析

解：由题意，BC⊥平面A1B，

∵S，T分别是棱AA1，A1B1上的点，

∴BC⊥ST

∵∠TSC=90°，

∴ST⊥SC

∵BC∩SC=C

∴ST⊥平面SBC

∴ST⊥SB

∴∠TSB=90°，

故答案为：90°

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