热门试卷

解法一：在面ABC内过B作BE⊥l于B，且BE=AC，则ABEC为矩形．

∴AB∥CE．

∴AB∥平面CDE．

则AB与CD的距离即为B到DE的距离．

过B作BF⊥DE于F，易求BF=a．

解法二：建系如图，

则A（0，0，b），C（-a，a，a），D（a，0，0），

设AB与CD的公垂线的一个方向向量=（x，y，z），

利用•=0，•=0，

求出，则d==a．

（Ⅰ）证明：取PC的中点为O，连FO，DO，

∵F，O分别为BP，PC的中点，

∴FO∥BC，且FO=BC，

又ABCD为平行四边形，∴ED∥BC，且ED=BC，

∴FO∥ED，且FO=ED

∴四边形EFOD是平行四边形------------------------------------（2分）

∴EF∥DO   

∵EF⊄平面PDC

∴EF∥平面PDC．---------------------------------------------（4分）

（Ⅱ）解：以DC为x轴，过D点做CP的垂线为y轴，DA为z轴建立空间直角坐标系，

则有D（0，0，0），C（2，0，0），B（2，0，3），P（-2，2，0），A（0，0，3）-----（6分）

设F（x，y，z），则==（-）

∴F（），∴-----------------------------（8分）

设平面PBC的法向量为

则，即，∴取y=1得--------------（10分）

∴cos===

∴AF与平面PBC所成角的正弦值为．-------------------------（12分）

解：（1）建立如图所示的坐标系，有O（0，0，0），A（2，0，0），

B（0，4，0），C（0，4，6），M（1，2，3）

∴，

∴=-2+8+0=6

∴cos＜＞==

（2）设平面OAC的法向量为，

则，

∴2a=0，

4b+6c=0，

∴

设直线AB与平面OAC所成的角是θ，

∴sinθ=|cos＜＞=

解：建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标分别为：

A（0，，0，0），B（a，0，0），C（a，2，0），D（0，2，0），S（0，0，1），设P（a，x，0）．（0＜x＜2）

（1）∵，

∴由得：a2-x（2-x）=0

即：a2=x（2-x）（0＜x＜2）

∴当且仅当x=1时，a有最大值为1．此时P为BC中点；

（2）由（1）知：，

∴，

∴异面直线AP与SD所成角的大小为．

（3）设是平面SCD的一个法向量，∵，

∴由得，

∴平面SCD的一个单位法向量，

又，在方向上的投影为，

∴点P到平面SCD的距离为．