用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
共2973题

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题型：简答题

简答题

如图，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DC=2，BC=，E是PC的中点．

（1）证明：PA∥平面EDB；

（2）求直线BE与平面ABCD所成角的大小．

正确答案

（Ⅰ）证明：连接AC，设AC∩BD=O，连接EO，

∵四边形ABCD为矩形，∴O为AC的中点．

∴OE为△PAC的中位线．

∴PA∥OE，而OE⊂平面EDB，PA⊄平面EBD，

∴PA∥平面EDB．

（Ⅱ）解：取DC中点F，连接BF，则EF∥PD

∵PD⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD，

∴∠EBF为直线BE与平面ABCD所成角

∵四边形ABCD为矩形，PD=DC=2，BC=，F为DC中点

∴EF=1，BF=

∴tan∠EBF==

∴∠EBF=

∴直线BE与平面ABCD所成角为

解析

（Ⅰ）证明：连接AC，设AC∩BD=O，连接EO，

∵四边形ABCD为矩形，∴O为AC的中点．

∴OE为△PAC的中位线．

∴PA∥OE，而OE⊂平面EDB，PA⊄平面EBD，

∴PA∥平面EDB．

（Ⅱ）解：取DC中点F，连接BF，则EF∥PD

∵PD⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD，

∴∠EBF为直线BE与平面ABCD所成角

∵四边形ABCD为矩形，PD=DC=2，BC=，F为DC中点

∴EF=1，BF=

∴tan∠EBF==

∴∠EBF=

∴直线BE与平面ABCD所成角为

题型：简答题

简答题

将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且AE=．

（1）证明：BD⊥CE；

（2）求AE与平面BDE所成角的大小；

（3）直线BE上是否存在一点M，使得CM∥平面ADE，若存在，求点M的位置，若不存在，请说明理由．

正确答案

（1）证明：以A为坐标原点AB，AD，AE所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则E（0，0，），B（2，0，0）D（0，2，0），

取BD的中点F并连接CF，AF；由题意可得CF⊥BD且AF=CF=，

又∵平面BDA⊥平面BDC，∴CF⊥平面BDA，

∴C的坐标为C（1，1，）

∴=（-2，2，0），=（-1，-1，0）

∴•=2-2+0=0，

∴⊥，∴BD⊥CE；

（2）解：设平面BDE的法向量为=（x，y，z），则

∵=（-2，2，0），=（0，-2，）

∴

∴=（1，1，）

又=（0，0，），

设平面DE与平面BCE所成角为θ，则

sinθ=|cos＜，＞|==

∴AE与平面BDE所成角为45°；

（3）解：假设存在点M使得CM∥面ADE，则=λ

∵=（2，0，-），∴=（2λ，0，-λ）

得M（2λ，0，-λ）　

又∵AE⊥平面ABD，AB⊥AD，∴AB⊥平面ADE

∵CM∥面ADE，∴=0

得2λ-1=0，∴λ=

故点M为BE的中点时CM∥面ADE．

解析

（1）证明：以A为坐标原点AB，AD，AE所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则E（0，0，），B（2，0，0）D（0，2，0），

取BD的中点F并连接CF，AF；由题意可得CF⊥BD且AF=CF=，

又∵平面BDA⊥平面BDC，∴CF⊥平面BDA，

∴C的坐标为C（1，1，）

∴=（-2，2，0），=（-1，-1，0）

∴•=2-2+0=0，

∴⊥，∴BD⊥CE；

（2）解：设平面BDE的法向量为=（x，y，z），则

∵=（-2，2，0），=（0，-2，）

∴

∴=（1，1，）

又=（0，0，），

设平面DE与平面BCE所成角为θ，则

sinθ=|cos＜，＞|==

∴AE与平面BDE所成角为45°；

（3）解：假设存在点M使得CM∥面ADE，则=λ

∵=（2，0，-），∴=（2λ，0，-λ）

得M（2λ，0，-λ）　

又∵AE⊥平面ABD，AB⊥AD，∴AB⊥平面ADE

∵CM∥面ADE，∴=0

得2λ-1=0，∴λ=

故点M为BE的中点时CM∥面ADE．

题型：简答题

简答题

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为1的正方形，BF⊥平面ABCD，DE∥BF．

（Ⅰ）求证：AC⊥EF；

（Ⅱ）若BF=2，DE=1，在EF上取点G，使BG∥平面ACE，求直线AG与平面ACE所成角θ的正弦值．

正确答案

（Ⅰ）证明：连接BD，则

∵DE∥BF，

∴D、E、B、F共面

∵四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，

∵BF⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

∴AC⊥BF，

∵BD∩BF=B，

∴AC⊥平面DEFB，

∵EF⊂平面DEFB，

∴AC⊥EF；

（2）解：建立如图所示的坐标系，则A（1，0，0），C（0，1，0），E（1，1，1），

设G（2-x，2-x，x），平面ACE的法向量为=（x，y，z），则

∵=（-1，1，0），=（1，0，1），

∴，

∴=（1，1，-1），

∵=（2-x，2-x，x），

∴2-x+2-x-x=0，

∴x=，

∴G（，，），

∴=（-，，），

∴直线AG与平面ACE所成角θ的正弦值为||=．

解析

（Ⅰ）证明：连接BD，则

∵DE∥BF，

∴D、E、B、F共面

∵四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，

∵BF⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

∴AC⊥BF，

∵BD∩BF=B，

∴AC⊥平面DEFB，

∵EF⊂平面DEFB，

∴AC⊥EF；

（2）解：建立如图所示的坐标系，则A（1，0，0），C（0，1，0），E（1，1，1），

设G（2-x，2-x，x），平面ACE的法向量为=（x，y，z），则

∵=（-1，1，0），=（1，0，1），

∴，

∴=（1，1，-1），

∵=（2-x，2-x，x），

∴2-x+2-x-x=0，

∴x=，

∴G（，，），

∴=（-，，），

∴直线AG与平面ACE所成角θ的正弦值为||=．

题型：填空题

填空题

在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，点A1在平面ABC上的射影为AC的中点D，AC=2，BB1=3，则AB1与底面ABC所成角的正切值为______．

正确答案

解析

解：如图，过D作DE∥AB，且DE=AB则B1E∥A1D；

∴B1E⊥平面ABC，则∠B1AE是AB1与底面ABC所成角；

根据条件知，在Rt△A1AD中，AD=1，AA1=3，∴A1D=∴；

在Rt△ABC中，AC=2，∴AB=，∴DE=；

∴在△ADE中，AD=1，DE=，；

∴根据余弦定理得：，∴AE=；

∴tan．

故答案是：．

题型：单选题

单选题

在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=，B1B=BC=1，则线BC1与面BDD1B1所成角的正弦为（　　）

正确答案

解析

解：∵长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=，B1B=BC=1，

过C1作C1O⊥D1B1，如图

∵平面BDD1B1⊥平面A1B1C1D1

∴C1O⊥平面BDD1B1，

∴∠C1BO为BC1与平面BDD1B1所成角，

∴C1O=，BC1=，

∴sin∠C1BO=；

故选B．

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