用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
共2973题

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题型：填空题

填空题

△ABC中，AB=4，AC=4，∠BAC=45°，以AC的中线BD为折痕，将△ABD沿BD折起，构成二面角A-BD-C．在面BCD内作CE⊥CD，且CE=．

（Ⅰ）求证：CE∥平面ABD；

（Ⅱ）如果二面角A-BD-C的大小为90，求二面角B-AC-E的余弦值．

正确答案

解析

解：（1）由AB=4，AC=4，∠BAC=45°，得BC=4，

∴△ABC为等腰直角三角形，

由D为AC的中点得BD⊥AC，以AC的中线BD为折痕翻折后仍有BD⊥CD，

∵CE⊥CD，∴CE∥BD，

又CE⊄平面ABD，BD⊂平面ABD，

∴CE∥平面ABD；

（2）如果二面角A-BD-C的大小为90°，

由AD⊥BD得AD⊥平面BDC，∴AD⊥CE，

又CE⊥CD，∴CE⊥平面ACD，从而CE⊥AC，

由题意AD=DC=2，∴Rt△ADC中，AC=4，

设AC的中点为F，∵AB=BC=4，∴BF⊥AC，且BF=2，

设AE中点为G，则FG∥CE，

由CE⊥AC得FG⊥AC，

∴∠BFG为二面角B-AC-E的平面角，连接BG，

在△BCE中，∵BC=4，CE=，∠BCE=135°，∴BE=，

在Rt△DCE中，DE==，

于是在Rt△ADE中，AE==3，

在△ABE中，，

∴在△BFG中，cos∠BFG=，

∴二面角B-AC-E的余弦值为-．

题型：简答题

简答题

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为A1B1、B1C1、C1D1的中点．

（1）求异面直线AG与BF所成角的余弦值；

（2）求证：AG∥平面BEF；

（3）试在棱BB1上找一点M，使DM⊥平面BEF，并证明你的结论．

正确答案

解：（1）以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别作为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系，

则A（1，0，0），B（1，1，0），，，，

∴，，

∴

故异面直线AG与BF所成角的余弦值为．

（2）∵，，

而，∴，

故与平面BEF共面，

又因为AG不在平面BEF内，

∴AG∥平面BEF．

（3）设M（1，1，m），则

由，

∴，

所以M为棱BB1的中点时，DM⊥平面BEF．

解析

解：（1）以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别作为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系，

则A（1，0，0），B（1，1，0），，，，

∴，，

∴

故异面直线AG与BF所成角的余弦值为．

（2）∵，，

而，∴，

故与平面BEF共面，

又因为AG不在平面BEF内，

∴AG∥平面BEF．

（3）设M（1，1，m），则

由，

∴，

所以M为棱BB1的中点时，DM⊥平面BEF．

题型：填空题

填空题

（2014春•溧阳市期末）已知l∥α，且l的方向向量为（2，m，1），平面α的法向量为，则m=______．

正确答案

-8

解析

解：∵l∥α，且l的方向向量为（2，m，1），平面α的法向量为，

∴向量为（2，m，1）与平面α的法向量垂直

则（2，m，1）=2+m+2=0

解得m=-8

故答案为：-8

题型：简答题

简答题

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，如图E、F分别是BB1，CD的中点，

（1）求证：D1F⊥平面ADE；

（2）cos（说明如何建系）

正确答案

解：建立如图所示的直角坐标系，

（1）证明：不妨设正方体的棱长为1，

则D（0，0，0），A（1，0，0），D1（0，0，1），

E（1，1，），F（0，，0），

则=（0，，-1），=（1，0，0），=（0，1，），

则=0，=0，

∴，．∴D1F⊥平面ADE；

（2）解：B1（1，1，1），C（0，1，0），

故=（1，0，1），=（-1，-，-），

∴=-1+0-=-，，，

则cos.．

解析

解：建立如图所示的直角坐标系，

（1）证明：不妨设正方体的棱长为1，

则D（0，0，0），A（1，0，0），D1（0，0，1），

E（1，1，），F（0，，0），

则=（0，，-1），=（1，0，0），=（0，1，），

则=0，=0，

∴，．∴D1F⊥平面ADE；

（2）解：B1（1，1，1），C（0，1，0），

故=（1，0，1），=（-1，-，-），

∴=-1+0-=-，，，

则cos.．

题型：简答题

简答题

如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=BB1，D为AC的中点．

（I）求证：B1C∥平面A1BD；

（Ⅱ）若AC1⊥平面A1BD，求证：B1C1⊥平面ABB1A1；

（Ⅲ）在（II）的条件下，求二面角B-A1C1-D的大小．

正确答案

（I）证明：连结AB1交A1B于E，连ED．

∵ABC-A1B1C1是三棱柱中，且AB=BB1，

∴侧面ABB1A是一正方形．

∴E是AB1的中点，又已知D为AC的中点．

∴在△AB1C中，ED是中位线．

∴B1C∥ED．∴B1C∥平面A1BD．…（4分）

（II）证明：∵AC1⊥平面A1BD，∴AC1⊥A1B，

又∵侧面ABB1A是一正方形，∴A1B⊥AB1．

∴A1B⊥平面AB1C1．∴A1B⊥B1C1．

又∵ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴BB1⊥B1C1．

∴B1C1⊥平面ABB1A1．…（8分）

（III）解：由上问知B1C1⊥平面ABB1A1．∴BC⊥平面ABB1A1．∴BC⊥AB．

以BA、BC、BB1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

不妨设AB=BC=BB1=1，则显然B、D、A1、C1各点的坐标分别是

B（0，0，0），D（），A1（1，0，1），C1（0，1，1）．

由图形可知二面角B-A1C1-D的平面角为锐角，

∴二面角B-A1C1-D的大小为．…（12分）

解析

（I）证明：连结AB1交A1B于E，连ED．

∵ABC-A1B1C1是三棱柱中，且AB=BB1，

∴侧面ABB1A是一正方形．

∴E是AB1的中点，又已知D为AC的中点．

∴在△AB1C中，ED是中位线．

∴B1C∥ED．∴B1C∥平面A1BD．…（4分）

（II）证明：∵AC1⊥平面A1BD，∴AC1⊥A1B，

又∵侧面ABB1A是一正方形，∴A1B⊥AB1．

∴A1B⊥平面AB1C1．∴A1B⊥B1C1．

又∵ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴BB1⊥B1C1．

∴B1C1⊥平面ABB1A1．…（8分）

（III）解：由上问知B1C1⊥平面ABB1A1．∴BC⊥平面ABB1A1．∴BC⊥AB．

以BA、BC、BB1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

不妨设AB=BC=BB1=1，则显然B、D、A1、C1各点的坐标分别是

B（0，0，0），D（），A1（1，0，1），C1（0，1，1）．

由图形可知二面角B-A1C1-D的平面角为锐角，

∴二面角B-A1C1-D的大小为．…（12分）

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