热门试卷

解：（1）∵PA⊥平面ABCD，△ABE是定值，

∴；

（2）分别以AB、AD、AP为x、y、z轴建立坐标系（如图），

则由题知：A（0，0，0），P（0，0，1），E为CD中点，CD=2，E（1，1，0），=（1，1，-1）

设=m，F（0，1-m，m）（0≤m≤1），=（0，1-m，m）

PE与AF成60°角，则

即

化简得10m2-10m+1=0，

经检验，均满足0≤m≤1，故=

（1）证明：由题意，∵BC∥AD，∠DAB=90°，

∴BC⊥AB

∵PA⊥平面ABCD

∴BC⊥PA，又PA∩AB=A

∴BC⊥平面PAB；

（2）解：延长BA、CD交于Q点，过A作AH⊥PQ，垂足为H，连DH

由（1）及AD∥BC知：AD⊥平面PAQ

∴AD⊥PQ且AH⊥PQ

所以PQ⊥平面HAD，即PQ⊥HD．

所以∠AHD是面PCD与面PBA所成的二面角的平面角

∵PA=AB=BC=3，梯形上底AD=1

∴，

∴

∴

所以面PCD与面PAB所成二面角的正切值为

（3）解：存在．

在BC上取一点F，使BF=1，则DF∥AB．由条件知，PC=3，在PC上取点E，使PE=，则EF∥PB，

所以，平面EFD∥平面PAB，

因为DE⊂平面EFD，

所以DE∥平面PAB

解（Ⅰ） 证明：连接BC1，B1C∩BC1=F，连接EF．

∵AE=EB，FB=FC1，∴EF∥AC1

∵AC1⊄面EB1C，EF⊂面EB1C

∴AC1∥面EB1C．

（Ⅱ）作DH⊥AB，分别令DH，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图，

∵∠BAD=60°，AD=2，

∴AH=1，，

∴，D1（0，0，3），C（0，3，0），，

，，，

设面EB1C的法向量为，

则 ，，

化简得，令y=1，则，

设，则

设直线ED1与面EB1C所成角为α，则sinα=|cosθ|=．

所以直线ED1与面EB1C所成角的正弦值为．

解：（I）证明：在梯形ABCD中，

∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，

∠ABC=60°，∴AB=2．

∴AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos60°=3，

∴AB2=AC2+BC2，

∴BC⊥AC，

∴平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，BC⊂平面ABCD，

∴BC⊥平面ACFE．

（Ⅱ）由（Ⅰ）建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示的空间直角坐标系，

则C（0，0，0），A（，0，0），B（0，1，0），M（，0，1），

∴，，

设=（x，y，z）为平面MAB的一个法向量，

由，得，

取x=1，则，

∵是平面FCB的一个法向量，

∴cosθ===．