热门试卷

（Ⅰ）证明：取AC的中点O，连接A1O，BO，

在三棱柱ABC-A1B1C1中，

所有棱长都为2，∠A1AC=60°，

则A1O⊥AC，BO⊥AC，A1O∩BO=O，…（2分）

所以AC⊥平面A1BO而A1B⊂平面A1BO，

∴AC⊥A1B．…（4分）

（Ⅱ）解：当三棱柱ABC-A1B1C1的体积最大时，

点A1到平面ABC的距离最大，

此时A1O⊥平面ABC．…（6分）

设平面ABC与平面A1B1C的交线为l，

在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1∥AB，AB∥平面A1B1C，

∴AB∥l，…（8分）

过点O作OH⊥l交于点H，连接A1H．由OH⊥l，A1O⊥l知l⊥平面A1OH，

∴l⊥A1H，故∠A1HO为平面A1B1C与平面ABC所成二面角的平面角．…（10分）

在Rt△OHC中，OC==1，∠OCH=∠BAC=60°，则，

在Rt△A1OH中，，，．…（12分）

即平面A1B1C与平面ABC所成锐角的余弦值为．

解：（Ⅰ）投影一的面积为2×2=4；投影二的面积为2×2=4；投影三的面积为2×2=4；

（Ⅱ） 直线BF与ED1不相交，是异面直线；

取BC的中点，则EG∥D1F，

∴∠BEG是直线BE与D1F所成角，

∵BG=1，BE=，

∴直线BE与D1F所成角的正弦值为．

故答案为：4，4，4，不．

解：（1）∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD

∴PD⊥AC

∵底面ABCD是正方形，

∴BD⊥AC，

∵PD、BD是平面PBD内的相交直线，

∴AC⊥平面PBD

∵DE⊂平面PBD，

∴AC⊥DE

（2）分别以DP、DA、DC所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示

设BC=3，则CP=3，DP=3，结合2BE=EP可得

D（0，0，0），A（0，3，0），C（0，0，3），P（3，0，0），

E（1，2，2）

∴=（0，3，-3），=（3，0，-3），=（1，2，-1）

设平面ACP的一个法向量为=（x，y，z），可得

，取x=1得=（1，1，1）

同理求得平面ACE的一个法向量为=（-1，1，1）

∵cos＜，＞==，∴二面角E-AC-P的余弦值等于

（1）证明：如图1取BD中点M，连接AM，ME．

∵AB=AD=，

∴AM⊥BD

∵DB=2，DC=1，BC=，

DB2+DC2=BC2，

∴△BCD是BC为斜边的直角三角形，BD⊥DC，

∵E是BC的中点，∴ME为△BCD的中位线

∴ME∥CD，ME=CD，

∴ME⊥BD，ME=，

∴∠AME是二面角A-BD-C的平面角，

∴∠AME=60°…（3分）

∵AM⊥BD，ME⊥BD且AM、ME是平面AME内两相交于M的直线，

∴BD⊥平面AEM∵AE⊂平面AEM，

∴BD⊥AE

∵AB=AD=，DB=2，

∴△ABD为等腰直角三角形，

∴AM=BD=1，

∴AAE2=AM2+ME2-2AM•ME•cos∠AME=，

∴AE=，

∴AE2+ME2=1=AM2，

∴AE⊥ME=M，

∴BD∩ME，BD⊂平面BDC，ME⊂面BDC，

∴AE⊥平面BDC   …（6分）

（2）解：如图2，以M为原点MB为x轴，ME为y轴，建立空间直角坐标系M-xyz，

则由（1）及已知条件可知B（1，0，0），E（0，，0），A（0，，），D（-1，0，0），C（-1，1，0），

∴=（1，，），=（0，1，0），=（0，0，-），…（8分）

设平面ACD的法向量为=（x，y，z）

则，∴=（，0，-2），

设直线AE与平面ADC所成角为α，则sinα==  …（10分）

∴直线AE与平面ADC所成角的正弦值为       …（12分）