热门试卷

（1）证明：因为SA⊥平面ABC，所以SA⊥AB，

△SAB中，勾股定理有SB=．

因为AM=，三角形为直角三角形，所以M为SB中点，

又D为BC中点，所以DM为三角形SBC中位线，

所以DM∥SC，

因为SC⊄面ADM，DM⊂面ADM，

所以SC∥面ADM；

（2）解：∵三棱锥S-ABC的体积为，∴AB×AC×SCsinBAC=，则∠BAC=120°

△BAC为等腰三角形，D为BC的中点，∴AD⊥BC，SD⊥BC，

故SC与平面SAD夹角为∠SCD，

∵CD=，SC=，∴SD=，

∴sin∠SCD=，

∵DM∥SC，

∴直线DM与平面SAD所成角的正弦值为．

（I）证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°．所以∠ADC=∠BCD=120°．又CB=CD，

所以∠CDB=30°，因此，∠ADB=90°，AD⊥BD，

又AE⊥BD且，AE∩AD=A，AE，AD⊂平面AED，

所以BD⊥平面AED；

（II）解法一：由（I）知，AD⊥BD，同理AC⊥BC，

又FC⊥平面ABCD，因此CA，CB，CF两两垂直，以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为X轴，Y轴，Z轴建立如图的空间直角坐标系，

不妨设CB=1，则C（0，0，0），B（0，1，0），D（，-，0），F（0，0，1），因此=（，-，0），=（0，-1，1）

设平面BDF的一个法向量为=（x，y，z），则•=0，•=0

所以x=y=z，取z=1，则=（，1，1），

由于=（0，0，1）是平面BDC的一个法向量，

则cos＜，＞===，所以二面角F-BD-C的余弦值为

解法二：取BD的中点G，连接CG，FG，由于 CB=CD，因此CG⊥BD，又FC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

所以FC⊥BD，由于FC∩CG=C，FC，CG⊂平面FCG．

所以BD⊥平面FCG．故BD⊥FG，所以∠FGC为二面角F-BD-C的平面角，

在等腰三角形BCD中，由于∠BCD=120°，

因此CG=CB，又CB=CF，

所以GF==CG，

故cos∠FGC=，

所以二面角F-BD-C的余弦值为

（1）证明：依题，折后AC=1，AO=CO=，∴AC2=AO2+CO2，

∴AO⊥CO．

又∵AC、BD是正方形ABCD的对角线，

∴AO⊥BD，

又BD∩CO=O，∴AO⊥平面BCD；

（2）解：三棱锥A-OCD的体积V===；

（3）解：由（1）知，AO⊥平面BCD，则OC，OA，OD两两互相垂直，如图，以O为原点，建立空间直角坐标系

则O（0，0，0），A（0，0，），C（，0，0），B（0，-，0），D（0，，0）

∴=（0，0，）是平面BCD的一个法向量，

=（，0，-），=（，，0），

设平面ABC的法向量为=（x，y，z），可得

所以可取=（1，-1，1）．

从而cos＜，＞=，

∴二面角A-BC-D的余弦值为．

（Ⅰ）证明：设PA的中点为M，则

∵△PAC为直角三角形，

∴CM=PM=AM=．

设正方形ABCD的中心为点O，则OM∥PC，OM=1且PC⊥底面ABCD，

∴OM⊥底面ABCD，

∵O为BD的中点，

∴BM=DM=，

∴CM=PM=AM=BM=DM，

∴P、A、B、C、D五点在以M为球心，半径为的同一个球面上，球的体积为=π；

（Ⅱ）解：连接CF并延长交AB于K，连接PK，则

∵EF∥平面PAB，EF⊂面PCK，面PCK∩平面PAB=PK，

∴EF∥PK，

∵DF=3BF，AB∥CD，

∴CF=3KF，

∵EF∥PK，

∴CE=3PE，

∴=．