热门试卷

（Ⅰ）证明：因为ABCD是正方形，所以BC∥AD．

因为AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，

所以BC∥平面PAD．…（4分）

（Ⅱ）证明：因为PD⊥底面ABCD，且ABCD是正方形，所以PC⊥BC．

设BC的中点为G，连结EG，FG，则EG∥PC，FG∥DC．

所以BC⊥EG，BC⊥FG．…（6分）

因为EG∩FG=G，所以BC⊥面EFG．

因为EF⊂面EFG，所以EF⊥BC．…（8分）

（Ⅲ）解：设PA的中点为N，连结DN，NC，

因为PD=AD，N为中点，所以DN⊥PA．

又△PAC中，PC=AC，N为中点，所以NC⊥PA．

所以∠CND是所求二面角的平面角．…（10分）

依条件，有CD⊥PD，CD⊥AD，

因为PD∩AD=D，所以CD⊥面PAD．

因为DN⊂面PAD，所以CD⊥DN．

在Rt△CND中，DN=，NC=．

于是cos∠CND==，即所求二面角的余弦值是．…（13分）

（1）证明：在正方形ABCD中，有AD⊥AE，CD⊥CF

则A‘D⊥A'E，A'D⊥A'F

又A'E∩A'F=A'

∴A'D⊥平面A'EF

而EF⊂平面A'EF，∴A'D⊥EF

（2）方法一：连接BD交EF于点G，连接A'G

∵在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，

∴BE=BF，DE=DF，

∴点G为EF的中点，

且BD⊥EF

∵正方形ABCD的边长为2，∴A'E=A'F=1，∴A'G⊥EF

∴∠A'GD为二面角A'-EF-D的平面角

由（1）可得A'D⊥A'G，

∴△A'DG为直角三角形

∵正方形ABCD的边长为2，

∴，，

∴，，

又A'D=2

∴

∴

∴二面角A'-EF-D的余弦值为

方法二：∵正方形ABCD的边长为2，点E是AB的中点，点F是BC的中点，

∴BE=BF=A'E=A'F=1，

∴

∴A'E2+A'F2=EF2，∴A'E⊥A'F

由（1）得A'D⊥平面A'EF，

∴分别以A'E，A'F，A'D为x，y，z轴建立如图所示的空间直角

坐标系A'-xyz，

则A'（0，0，0），E（1，0，0），F（0，1，0），D（0，0，2）

∴，，

设平面DEF的一个法向量为，则由，

可取

又平面A'EF的一个法向量可取

∴

∴二面角A'-EF-D的余弦值为．

解：（I）∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PD

∵菱形ABCD中，AC⊥BD，PD∩BD=D

∴AC⊥平面PBD

又∵AC⊂平面EAC，平面EAC⊥平面PBD；

（II）连接OE，

∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD=OE，PD⊂平面PBD

∴PD∥OE，结合O为BD的中点，可得E为PB的中点

∵PD⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，

又∵OE⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面ABCD，

∵平面EAC∩平面ABCD=AC，BO⊂平面ABCD，BO⊥AC

∴BO⊥平面EAC，可得BO⊥AE

过点O作OF⊥AE于点F，连接OF，则

∵AE⊥BO，BO、OF是平面BOF内的相交直线，

∴AE⊥平面BOF，可得AE⊥BF

因此，∠BFO为二面角B-AE-C的平面角，即∠BFO=45°

设AD=BD=a，则OB=a，OA=a，

在Rt△BOF中，tan∠BFo=，可得OF=

Rt△AOE中利用等积关系，可得OA•OE=OF•AE

即a•OE=a•，解之得OE=

∴PD=2OE=，可得PD：AD=：2

即PD：AD的值为．