热门试卷

（1）证明：设AC与BD相交于点O，连结FO．

因为四边形ABCD为菱形，

所以AC⊥BD，

且O为AC中点．又FA=FC，

所以AC⊥FO．  　　

因为FO∩BD=O，

所以AC⊥平面BDEF．  　

（2）解：因为四边形BDEF为菱形，且∠DBF=60°，

所以△DBF为等边三角形．

因为O为BD中点，所以FO⊥BD，

故FO⊥平面ABCD．　

由OA，OB，OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz．

设AB=2．因为四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，

则BD=2，所以OB=1，．

所以 ．

所以 ，．

设平面BFC的法向量为，

则有，所以，取x=1，得．

由图可知平面AFC的法向量为．

由二面角A-FC-B是锐角，得=．

所以二面角A-FC-B的余弦值为；

（3）解：，

平面BFC的法向量，

所以=．

则．

解：（Ⅰ）点F存在且为B1C1的中点，连接AB1，

∵D，E，G分别是AB，BB1，AC1的中点，

∴DE∥AB1∥GF．              

（Ⅱ）如图，以A为坐标原点，的方向分别作为y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，；

∵D、E、G分别是AB、BB1、AC1的中点，

∴，，；

设平面DEG的法向量为，

由

得，解得x=0，y=-2z，

取z=1得；

又平面ABC的一个法向量为，

设截面DEG与底面ABC所成锐二面角为θ，

则，

∴，得tanθ=2．

故截面DEG与底面ABC所成锐二面角的正切值为2．                     

（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面DEG的一个法向量为，；

设点B1到截面DEG的距离为d，

由向量的投影得，

故点B1到截面DEG的距离为．

解：∵四边形ACDE是正方形，所以EA⊥AC，AM⊥EC，

∵平面ACDE⊥平ABC，

∴EA⊥平面ABC，

∴可以以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，

分别以直线AC和AE为y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz．

设EA=AC=BC=2，则A（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，0，2），

∵M是正方形ACDE的对角线的交点，

∴M（0，1，1）．

（1），，，

∴

∴AM⊥EC，AM⊥CB，

∴AM⊥平面EBC．

（2）设平面EBC的法向量为，则且，

∴．

∴，取y=-1，则x=1，则．

又∵为平面EBC的一个法向量，且），

∴，

设二面角A-EB-C的平面角为θ，则，

∴二面角A-EB-C等60°．

解：（1）根据题意，可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），

D（1，2，0），A1（0，0，3），B1（2，0，3），C1（0，4，3），

∴=（1，2，-3），=（0，4，0），

设平面A1C1D的一个法向量是=（x，y，z），

可得：，

取z=1，得x=3，y=0，可得=（3，0，1），

设直线DB1与平面A1C1D所成角为α，而=（1，-2，3），

∴sinα=|cos＜，＞|==．

因此，直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值等于；

（2）设平面A1B1D的一个法向量为=（a，b，c），

结合=（1，2，-3）、=（2，0，0），可得：，

取b=3，得a=0，c=2，可得=（0，3，2），

设二面角B1-A1D-C1的大小为β，得

|cosβ|=|cos＜，＞|===

∴sinβ==，即二面角B1-A1D-C1的正弦值等于．