用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
共2973题

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题型：单选题

单选题

从P点引三条射线PA，PB，PC，每两条射线夹角为60°，则平面PAB和平面PBC所成二面角正弦值为（　　）

正确答案

解析

解：由题意，截取PA=PB=PC=a，由于每两条射线夹角为60°，所以四面体PABC正四面体．

取PB得中点O，连接OA，OC，则∠AOC就是所求二面角的平面角，

在△AOC中，

∴

故选A．

题型：简答题

简答题

如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=1．

（I）求证：A1C∥平面AB1D；

（II）求二面角B-AB1-D的大小．

正确答案

（I）证明：

连接A1B，设A1B∩AB1=E，连接DE．

∵ABC-A1B1C1是正三棱柱，且AA1=AB，

∴四边形A1ABB1是正方形，

∴E是A1B的中点，

又D是BC的中点，

∴DE∥A1C．

∵DE⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D，

∴A1C∥平面AB1D．

（II）解：在面ABC内作DF⊥AB于点F，在面A1ABB1内作FG⊥AB1于点G，连接DG．

∵平面A1ABB1⊥平面ABC，∴DF⊥平面A1ABB1，

∴FG是DG在平面A1ABB1上的射影，∵FG⊥AB1，∴DG⊥AB1

∴∠FGD是二面角B-AB1-D的平面角

设A1A=AB=1，在正△ABC中，DF=．

在△ABE中，，

在Rt△DFG中，，

所以，二面角B-AB1-D的大小为．

解析

（I）证明：

连接A1B，设A1B∩AB1=E，连接DE．

∵ABC-A1B1C1是正三棱柱，且AA1=AB，

∴四边形A1ABB1是正方形，

∴E是A1B的中点，

又D是BC的中点，

∴DE∥A1C．

∵DE⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D，

∴A1C∥平面AB1D．

（II）解：在面ABC内作DF⊥AB于点F，在面A1ABB1内作FG⊥AB1于点G，连接DG．

∵平面A1ABB1⊥平面ABC，∴DF⊥平面A1ABB1，

∴FG是DG在平面A1ABB1上的射影，∵FG⊥AB1，∴DG⊥AB1

∴∠FGD是二面角B-AB1-D的平面角

设A1A=AB=1，在正△ABC中，DF=．

在△ABE中，，

在Rt△DFG中，，

所以，二面角B-AB1-D的大小为．

题型：简答题

简答题

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在棱CC1的延长线上，且．

（I）求证：D1E∥平面ACB1；

（II）求证平面D1B1E⊥平面DCB1；

（III）求平面ACB1与平面D1B1E所成（锐）二面角的余弦值．

正确答案

解：（I）证明：连接DC1，因为ABCD-A1B1C1D1是长方体，且CC1=C1E，

所以DD1∥C1E且DD1=C1E，DD1EC1是平行四边形，DC1∥D1E．

又因为AD∥B1C1且AD=B1C1，ADC1B1是平行四边形，DC1∥AB1，

所以D1E∥AB1．

因为AB1⊂平面ACB1，D1E⊄平面ACB1，

所以D1E∥平面ACB1．

（II）证明：连接AD1、DA1，则平面DCB1即平面A1B1CD，由①D1E∥AB1，知平面D1B1E即平面AD1EB1．

因为ABCD-A1B1C1D1是长方体，CD⊥平面ADD1A1，

所以CD⊥AD1．矩形ADD1A1中，AD=DD1，

所以A1D⊥AD1，又A1D∩CD=D，

所以AD1⊥平面A1B1CD，AD1⊂平面AD1EB1，

所以平面AD1EB1⊥平面A1B1CD．

（Ⅲ）以D为坐标原点，建立如图所示的坐标系，

则A （1，0，0）C （0，2，0）B1 （1，2，1），=（-1，2，0）=（0，2，1）

设面ACB1的一个法向量是=（x1，y1，z1），则

∴取z=-2，则=（2，1，-2），

D1（0，0，1）E（0，2，2）=（0，2，1），=（-1，0，1）

设面D1B1E的一个法向量是=（x2，y2，z2）则

∴取z=2，则=（2，-1，2）

设平面ACB1与平面D1B1E所成（锐）二面角的平面角是θ，则cosθ=

解析

解：（I）证明：连接DC1，因为ABCD-A1B1C1D1是长方体，且CC1=C1E，

所以DD1∥C1E且DD1=C1E，DD1EC1是平行四边形，DC1∥D1E．

又因为AD∥B1C1且AD=B1C1，ADC1B1是平行四边形，DC1∥AB1，

所以D1E∥AB1．

因为AB1⊂平面ACB1，D1E⊄平面ACB1，

所以D1E∥平面ACB1．

（II）证明：连接AD1、DA1，则平面DCB1即平面A1B1CD，由①D1E∥AB1，知平面D1B1E即平面AD1EB1．

因为ABCD-A1B1C1D1是长方体，CD⊥平面ADD1A1，

所以CD⊥AD1．矩形ADD1A1中，AD=DD1，

所以A1D⊥AD1，又A1D∩CD=D，

所以AD1⊥平面A1B1CD，AD1⊂平面AD1EB1，

所以平面AD1EB1⊥平面A1B1CD．

（Ⅲ）以D为坐标原点，建立如图所示的坐标系，

则A （1，0，0）C （0，2，0）B1 （1，2，1），=（-1，2，0）=（0，2，1）

设面ACB1的一个法向量是=（x1，y1，z1），则

∴取z=-2，则=（2，1，-2），

D1（0，0，1）E（0，2，2）=（0，2，1），=（-1，0，1）

设面D1B1E的一个法向量是=（x2，y2，z2）则

∴取z=2，则=（2，-1，2）

设平面ACB1与平面D1B1E所成（锐）二面角的平面角是θ，则cosθ=

题型：填空题

填空题

棱长都为2的直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，∠BAD=60°，则对角线A1C与侧面DCC1D1所成角的余弦值为______．

正确答案

解析

解：作A1E⊥C1D1，垂足为E，连CE，A1E，A1C．

∵ABCD-A1B1C1D1是直平行六面体

∴A1E⊥平面DCC1D1，

∴∠A1CE就是对角线A1C与侧面DCC1D1所成角

∵CE⊂平面A1B1C1D1，

∴A1E⊥CE

∵棱长都为2的直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，∠BAD=60°，

∴，D1E=1

∴

∴A1C=4

∴CE=

在Rt△A1EC中，cos∠A1CE=

故答案为：

题型：简答题

简答题

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD．

（1）证明：AC⊥PB；

（2）若，示平面PAB与平面PADC所成二面角（锐角）的余弦值．

正确答案

（1）证明：连接BD

∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，

∵PD⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD

∴PD⊥AC，

∵BD∩PD=D，∴AC⊥平面PDB，

∵PB⊂平面PDB，

∴AC⊥PB；

（2）解：设BC=1，则PC=，在直角△PDC中，PD=

建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则P（，0，0），A（0，0，1），B（0，1，1），

∴

设=（x，y，z）是平面PBA的一个法向量，由，可得，可取

∵是平面PDC的一个法向量，且=（0，0，1）

∴cos===

∴平面PAB与平面PADC所成二面角（锐角）的余弦值为．

解析

（1）证明：连接BD

∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，

∵PD⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD

∴PD⊥AC，

∵BD∩PD=D，∴AC⊥平面PDB，

∵PB⊂平面PDB，

∴AC⊥PB；

（2）解：设BC=1，则PC=，在直角△PDC中，PD=

建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则P（，0，0），A（0，0，1），B（0，1，1），

∴

设=（x，y，z）是平面PBA的一个法向量，由，可得，可取

∵是平面PDC的一个法向量，且=（0，0，1）

∴cos===

∴平面PAB与平面PADC所成二面角（锐角）的余弦值为．

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