- 众数、中位数、平均数
- 共226题
甲、乙两位学生参加数学竞赛培训。现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：
（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据，并写出乙组数据的中位数；
（Ⅱ）经过计算知甲、乙两人预赛的平均成绩分别为
（Ⅲ）若将预赛成绩中的频率视为概率，记“甲在考试中的成绩不低于80分”为事件A，其概率为P（A）；记“乙在考试中的成绩不低于80分”为事件B，其概率为P（B），则P（A）+P（B）=P（A+B）成立吗？试说明理由。
正确答案
解：（Ⅰ）作出如图所示茎叶图，易得乙组数据的中位数为84，
（Ⅱ）派甲参赛比较合适，
理由如下：
∴
∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适；
（Ⅲ）不成立．
由已知可得
而0＜P（A+B）＜1，
所以P（A）+P（B）=P（A+B）不成立；
或此式成立的条件是A和B互斥，而此问题中的A和B是不互斥的。
某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：
（Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（Ⅱ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；
（Ⅲ）用分层抽样的方法在分数段为[60，80）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[70，80）的概率。
正确答案
解：（Ⅰ）分数在[70，80）内的频率为
1-（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1-0.7=0.3，
故
（Ⅱ）平均分为
（Ⅲ）由题意，[60，70）分数段的人数为0.15×60=9人；
[70，80）分数段的人数为0.3×60=18人；
∵在[60，80）的学生中抽取一个容量为6的样本，
∴[60，70）分数段抽取2人，分别记为m，n；[70，80）分数段抽取4人，分别记为a，b，c，d；
设从样本中任取2人，至多有1人在分数段[70，80）为事件A，
则基本事件空间包含的基本事件有：（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），…，（c，d），共15种，
则事件A包含的基本事件有：（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），（n，b），（n，c），（n，d），共9种，
∴
在“家电下乡”活动中，某品牌家电厂家从某地购买该品牌家电的用户中随机抽取20名用户进行满意度调查.设满意度最低为0，最高为10，抽查结果统计如下：
（1）补全下列频率分布直方图：
（2）估计这次“家电下乡”活动中，该品牌用户满意度超过6的概率；
（3）估算这20名用户满意度的中位数（写出计算过程）；
（4）设第四组（即满意度在区间[6，8)内）的5名用户的满意度数据分别为：6.5、7、7.5、7.5、7.9，从中任取两名不同用户的满意度数据x、y，求|x-y|＜1的概率。
正确答案
解：（1）频率分布直方图如下图：
（2）满意度超过6的用户数为5+8=13，样本容量为20，故满意度超过6的频率为
因此估计这次活动中该品牌用户满意度超过6的概率为
（3）各组频率依次为：
∵
而
∴中位数在区间[6，8)内，设为x，
则有：
解之得x=7.2，
即中位数为7.2；
（4）基本事件共有10个，
其中满足|x-y|＜1的有7个（除
从而|x-y|＜1的概率为
某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段
（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）估计这次考试的平均分。
正确答案
解：（1）因为各组的频率和等于1，
故第四组的频率： f4=1-(0.025+0.15×2+0.01+0.005)×10=0.3，
直方图"略"。
（2）利用组中值估算抽样学生的平均分（fi表示各矩形面积）
45·f1+55·f2+65·f3+75·f4+85·f5+95·f6=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05
=71，
估计这次考试的平均分是71分。
甲乙两位同学在5次月考中数学成绩统计如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是x甲，x乙，比较甲乙成绩谁更稳定，并说明理由．
正确答案
乙的成绩更稳定，理由如下：
x甲=
x乙=
S甲2=
S乙2=
∵S甲2＞S乙2，
∴乙的成绩更稳定．
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