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题型：简答题

简答题

已知数列{an}的前n项的平均数的倒数为，

（1）求{an}的通项公式；

（2）设cn=，试判断并说明cn+1-cn（n∈N*）的符号；

（3）设函数f(x)=-x2+4x-，是否存在最大的实数λ，当x≤λ时，对于一切自然数n，都有f（x）≤0．

（1）∵数列{an}的前n项的平均数的倒数为，

∴a1+a2+…+an-1+an=n（2n+1），a1+a2+…+an-1=（n-1）（2n-1）

两式相减得an=4n-1（n≥2），

∵a1=3，

∴an=4n-1（n∈N）

（2）∵cn===2-，cn+1=2-，

∴cn+1-cn=-＞0，即cn+1＞cn．

（3）由（2）知c1=1是数列{cn}中的最小项，

∵x≤λ时，对于一切自然数n，都有f(x)≤0，即-x2+4x≤=cn，

∴-x2+4x≤c1=1，即x2-4x+1≥0，

∴x≥2+或x≤2-， ∴取λ=2-．

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