- 曲线运动
- 共20011题
如图为一皮带传动装置，大轮与小轮固定在同一根轴上，小轮与另一中等大小的轮子间用皮带相连（皮带不打滑），它们的半径之比是1∶2∶3。A、B、C分别为小、中、大轮子边缘上的三点，那么角速度ωA∶ωB＝ ；向心加速度aB∶aC＝ 。
正确答案
2:1；1:6
略
一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无滑动，大轮半径是小轮半径的2倍，大轮上一点S离转轴O1的距离是半径的1/3，当大轮边上P点的向心加速度是0.6m/s2时，大轮上的S点的向心加速度为 m/s2，小轮边缘上的Q点的向心加速度是 m/s2。
正确答案
0.2 m/s2，1.2 m/s2
试题分析：设小轮半径为r，则
S和P属于同轴转动，所以角速度相同，都为
P和Q属于同一条传送带相连，故线速度相同，根据公式
点评：共轴的角速度是相同的；同一传动装置接触边缘的线速度大小是相等的．以此作为突破口；同时能掌握线速度、角速度与半径之间的关系．
（8分）如图，请仔细观察自行车的结构特征.若在自行车传动装置中，已知大齿轮A、小齿轮B、与后轮C的半径分别为
（1）大齿轮匀速转动的角速度
（2）自行车匀速前进的速度
正确答案
（8分）解：（1）（4分）大齿轮角速度与脚踏板角速度相等 ω = 2πn
（2）（4分）大齿轮边缘质点线速度 ν 1= ωr1
小齿轮边缘质点线速度 ν2 = ν1
小齿轮（后轮）角速度 ω 2= ν2 /r2
自行车前进速度就是后轮边缘质点线速度 ν = ω 2r3
联解以上各式得 ν = 2πnr1 r3 /r2
略
质点作匀速圆周运动，半径为R，转速为n（R、n的单位均为国际单位），则质点的周期T=____________，角速度ω=____________，线速度v=____________，向心加速度=____________。
正确答案
如图所示，穿过光滑水平平面中央小孔O的细线与平面上质量为m的小球P相连，手拉细线的另一端，让小球在水平面内以角速度ω1沿半径为a的圆周做匀速圆周运动。所有摩擦均不考虑。求：
（1）这时细线上的张力多大？
（2）若突然松开手中的细线，经时间Δt再握紧细线，随后小球沿半径为b的圆周做匀速圆周运动。试问：Δt等于多大？这时的角速度ω2为多大？
正确答案
解：（1）由牛顿第二定律：T=mω12a
（2）松手后小球由半径为a圆周运动到半径为b的圆周上，做的是匀速直线运动，如图所示
小球匀速直线运动速度要在瞬间变到沿圆周切向，实际的运动可看做沿绳和垂直绳的两个运动同时进行，有v2＝vsinθ＝va/b
即
如图所示，一木块放于水平转盘上，与转轴的距离为r，若木块与盘面间的最大静摩擦力是木块重力的μ倍，为使木块不与转盘发生相对移动，转盘转动的角速度的最大值是________________.
正确答案
ω=
如图所示的皮带传动装置，主动轮O1上两轮的半径分别为3r和r，从动轮O2的半径为2r，A、B、C分别为轮缘上的三点，设皮带不打滑，则：⑴ A、B、C三点的角速度之比ωA∶ωB∶ωC =
⑵ A、B、C三点的线速度大小之比vA∶vB∶vC=
正确答案
2∶2∶1 3∶1∶1
⑴AB同轴转动，角速度相等，BC在同一皮带上，线速度大小相等，根据
⑵AB同轴转动，角速度相等，根据
故答案为：2:2:1 3:1:1
A、B两质点分别做匀速圆周运动
正确答案
2∶3；2∶3
质量为m=0.5kg的小物块放在水平转盘上，距转轴的距离为r=0.1m，与转盘间的动摩擦因数为μ=0.16，并假设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，（重力加速度为g=10m/s2）问：
（1）当转盘转动的角速度为1rad/s时，物块受到的摩擦力大小；
（2）当转盘转动的角速度为3rad/s时，物块受到合外力大小；
（3）要使物块不在转盘上发生滑动，转盘的最大转动角速度为多大？
正确答案
（1）0.05N
（2）0.45N
（3）4rad/s
如图所示，在绕竖直轴匀速转动的水平圆盘盘面上，离轴心r=20 cm处放置一小物块A，其质量为m＝2 kg，A与盘面间相互作用的静摩擦力的最大值为其重力的k倍（k＝0.5），试求：
（1）当圆盘转动的角速度ω＝2 rad/s时，物块与圆盘间的摩擦力大小为多大？方向如何？
（2）欲使A与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度为多大？（取g=10 m/s2）
正确答案
解：（1）物体随圆盘一起绕轴线转动，需要向心力，而竖直方向物体受到的重力mg、支持力FN不可能提供向心力，向心力只能来源于圆盘对物体的静摩擦力
根据牛顿第二定律可求出物体受到的静摩擦力的大小：Ff=F向=mω2r=2×22×0.2 N=1.6 N，方向沿半径指向圆心
（2）欲使物块与盘不发生相对滑动，做圆周运动的向心力应不大于最大静摩擦力。即F向=mrωm2≤kmg
解得ωm≤
如图所示，一水平圆盘绕过圆心的竖直轴转动，圆盘边缘有一质量m＝1.0 kg的小滑块。当圆盘转动的角速度达到某一数值时，滑块从圆盘边缘滑落，经光滑的过渡圆管进入轨道ABC。已知AB段斜面倾角为53°，BC段斜面倾角为37°，滑块与圆盘及斜面间的动摩擦因数均μ＝0.5，A点离B点所在水平面的高度h＝1.2 m。滑块在运动过程中始终未脱离轨道，不计在过渡圆管处和B点的机械能损失，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，取g＝10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。
（1）若圆盘半径R＝0.2 m，当圆盘的角速度多大时，滑块从圆盘上滑落？
（2）若取圆盘所在平面为零势能面，求滑块到达B点时的机械能。
（3）从滑块到达B点时起，经0.6 s正好通过C点，求BC之间的距离。
正确答案
解：（1）滑块在圆盘上做圆周运动时，静摩擦力充当向心力，根据牛顿第二定律，可得：μmg＝mω2R
代入数据解得：
（2）滑块在A点时的速度：vA＝ωR＝1 m/s
从A到B的运动过程由动能定理得：mgh－μmgcos53°×h/sin53°＝
在B点时的机械能为：
（3）滑块在B点时的速度：vB＝4 m/s
滑块沿BC段向上运动时的加速度大小：a1＝g(sin37°＋μcos37°)＝10 m/s2
返回时的加速度大小：a2＝g(sin37°－μcos37°)＝2 m/s2
BC间的距离：
如图，半径R=0.4m的圆盘水平放置，绕竖直轴OO′匀速转动，在圆心O正上方h=0.8m高处固定一水平轨道PQ，转轴和水平轨道交于O′点。一质量m=1kg的小车（可视为质点），在F=4N的水平恒力作用下，从O′左侧x0=2m处由静止开始沿轨道向右运动，当小车运动到O′点时，从小车上自由释放一小球，此时圆盘半径OA与x轴重合。规定经过O点水平向右为x轴正方向。小车与轨道间的动摩擦因数μ=0.2，g取10m/s2。
（1）若小球刚好落到A点，求小车运动到O′点的速度；
（2）为使小球刚好落在A点，圆盘转动的角速度应为多大？
（3）为使小球能落到圆盘上，求水平拉力F作用的距离范围。
正确答案
解：（1）小球离开小车后，由于惯性，将以离开小车时的速度作平抛运动
小车运动到O'点的速度
（2）为使小球刚好落在A点，则小球下落的时间为圆盘转动周期的整数倍，有
即
（3）小球若能落到圆盘上，其在O′点的速度范围是：0＜v≤1m/s
设水平拉力作用的最小距离与最大距离分别为x1、x2，对应到达O'点的速度分别为0、1m/s
根据动能定理，有
代入数据解得
根据动能定理，有
代入数据解得
则水平拉力F作用的距离范围1m
如图所示为火车站装载货物的原理示意图。设AB段是距水平传送带装置高为H=5m的光滑斜面，水平段BC使用水平传送带装置，BC长L=8m，与货物的动摩擦因数为μ=0.6，皮带轮的半径为R=0.2m，上部距车厢底水平面的高度h=0.45m设货物由静止开始从A点下滑，经过B点的拐角处无机械能损失，通过调整皮带轮（不打滑）的转动角速度ω可使货物经C点抛出后落在车厢上的不同位置，取g=10m/s2，求：
（1）当皮带轮静止时，货物在车厢内的落地点到C点的水平距离；
（2）当皮带轮以角速度ω=20rad/s顺时针方向匀速转动时，货物在车厢内的落地点到C点的水平距离；
（3）试写出货物在车厢内的落地点到C点的水平距离s随皮带轮角速度ω变化关系，并画出s-ω图象。（设皮带轮顺时针方向转动时，角速度ω取正值，水平距离向右取正值)
正确答案
解：设货物在B点的速度为v0，由机械能守恒定律可得：
得：
（1）货物从B到C做匀减速运动，由动能定理得：
落地点到C点的水平距离：
（2）皮带速度：v皮=ω·R=20×0.2m/s=4m/s
结合（1）可知，货物先减速运动，当速度减小为4m/s时开始做匀速运动，最后从C点抛出，落地点到C点的水平距离：
（3）①皮带轮逆时针方向转动：
无论角速度为多大，货物从B到C均做匀减速运动，在C点的速度为vC=2 m/s，落地点到C点的水平距离s=0.6m
②皮带轮顺时针方向转动时：
I．当0≤ω≤10 rad/s时：s=0.6 m
Ⅱ．当10＜ω≤50 rad/s时：
Ⅲ．当50＜ω＜70 rad/s时：
Ⅳ．当ω≥70 rad/s时：
s-ω图象如图所示：
如图所示为火车站装载货物的原理示意图。设AB段是距水平传送带装置高为H=5m的光滑斜面，水平段BC使用水平传送带装置，BC长L=8m，与货物的动摩擦因数为μ=0.6，皮带轮的半径为R=0.2m，上部距车厢底水平面的高度h=0.45m设货物由静止开始从A点下滑，经过B点的拐角处无机械能损失，通过调整皮带轮（不打滑）的转动角速度ω可使货物经C点抛出后落在车厢上的不同位置，取g=10m/s2，求：
（1）当皮带轮静止时，货物在车厢内的落地点到C点的水平距离；
（2）当皮带轮以角速度ω=20rad/s顺时针方向匀速转动时，货物在车厢内的落地点到C点的水平距离；
（3）试写出货物在车厢内的落地点到C点的水平距离s随皮带轮角速度ω变化关系，并画出s-ω图象。（设皮带轮顺时针方向转动时，角速度ω取正值，水平距离向右取正值)
正确答案
解：设货物在B点的速度为v0，由机械能守恒定律可得：
得：
（1）货物从B到C做匀减速运动，由动能定理得：
落地点到C点的水平距离：
（2）皮带速度：v皮=ω·R=20×0.2m/s=4m/s
结合（1）可知，货物先减速运动，当速度减小为4m/s时开始做匀速运动，最后从C点抛出，落地点到C点的水平距离：
（3）①皮带轮逆时针方向转动：
无论角速度为多大，货物从B到C均做匀减速运动，在C点的速度为vC=2 m/s，落地点到C点的水平距离s=0.6m
②皮带轮顺时针方向转动时：
I．当0≤ω≤10 rad/s时：s=0.6 m
Ⅱ．当10＜ω≤50 rad/s时：
Ⅲ．当50＜ω＜70 rad/s时：
Ⅳ．当ω≥70 rad/s时：
s-ω图象如图所示：
轨道ABCD由粗糙的斜面轨道AB和光滑圆弧轨道BCD组成。圆弧轨道BCD半径R=1m，在B点与斜面轨道AB相切；C点是圆弧轨道的最低点，D点的切线沿竖直方向；斜面轨道与水平面的夹角θ=37°，物块与斜面间的动摩擦因数μ=0.3。在D点的正上方有一厚度不计的旋转平台，沿平台的一条直径上开有两个小孔P、Q，两孔离轴心等距离，旋转时两孔均能达到D点的正上方。一质量m=0.5kg的物块(视为质点)从斜面上A点由静止释放，到达C点时对轨道的压力N=65N，到达D点后恰好无碰撞的穿过小孔P，为了使物块能从小孔Q落下(不计空气阻力，重力加速度g=10m/s2，取sin37°=0.6，cos37°=0.8)，求：
(1)物块到达C点时的速度(结果可用根式表示)；
(2)AB的长度L(结果可用分数表示)；
(3)平台的角速度ω应满足的条件。
正确答案
解：（1）在C点，根据牛顿定律有
（2）由动能定理，有
解得
（3）设小球到达D点时的速度是vD，则在物块由C到D过程中，有
解得
物块越过孔后做初速度为10m/s、加速度为-g的匀变速运动，由运动学公式有
可得t=2s
根据θ=ωt得ω应满足
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