函数的周期性
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函数的周期性
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题型：简答题

简答题

已知定义域为R的函数f（x）为奇函数，且满足f（x+2）=-f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=2x-1．（1）求f（x）在[-1，0）上的解析式；（2）求f（log1224）．

正确答案

（1）令x∈[-1，0），则-x∈（0，1]，∴f（-x）=2-x-1．

又∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），∴-f（x）=f（-x）=2-x-1，

∴f（x）=-（)x+1．

（2）∵f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），

∴f（x）是以4为周期的周期函数，

∵log1224=-log224∈（-5，-4），∴log1224+4∈（-1，0），

∴f（log1224）=f（log1224+4）=-（)^log1224+4+1=-24×+1=-．

题型：简答题

简答题

已知f（x）=是定义在R上的奇函数，且f（x）的图象经过点（1，）．

（1）求实数a，b的值；

（2）求证：y=f（x）在（1，+∞）是减函数．

正确答案

（1）因为f（x）=是定义在R上的奇函数

所以f（0）=0

所以b=0

又因为f（x）的图象经过点（1，），

所以 f（1）==

所以a=1，b=0

（2）∵f（x）=，

∴f′（x）==，

∵x＞1，可得-x2+1＜0，

可以推出f′（x）＜0，在（1，+∞）上成立，

∴y=f（x）在（1，+∞）是减函数．

题型：简答题

简答题

已知f（x）、g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，且f（x）-g（x）=ex

（Ⅰ）f（x），g（x）的解析式；

（Ⅱ）证明：f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．

正确答案

（Ⅰ）∵f（x），g（x）分别为R上的奇函数，偶函数f（x）-g（x）=ex①∴f（-x）-g（-x）=e-x∴-f（x）-g（x）=e-x②①-②得：f(x)=

①+②得：g(x)=-

（Ⅱ）证明：由（1）知f(x)=

所以 f′(x)=(ex+e-x)＞0，即导函数在（-∞，+∞）上恒为正值

因此f（x）在（-∞，+∞）上为增函数

题型：简答题

简答题

设函数f(x)=，若f（x）是奇函数，则g(-)的值为______

正确答案

g(-)=f（-）=-f（）=-log3=2

故答案为2

题型：简答题

简答题

定义在（-1，1）上的函数f（x），（i）对任意x，y∈（-1，1）都有：f(x)+f(y)=f()；（ii）当x∈（-1，0）时，f（x）＞0，回答下列问题．

（1）判断f（x）在（-1，1）上的奇偶性，并说明理由．

（2）判断函数f（x）在（0，1）上的单调性，并说明理由．

正确答案

（1）令x=y=0⇒f（0）=0，令y=-x，则f（x）+f（-x）=0⇒f（-x）=-f（x）⇒f（x）在（-1，1）上是奇函数．

（2）设0＜x1＜x2＜1，则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f()，而x1-x2＜0，0＜x1x2＜1⇒＜0⇒f()＞0．即当x1＜x2时，f（x1）＞f（x2）．

∴f（x）在（0，1）上单调递减．

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