热门试卷

（1）∵f(x)===-1+

∴函数f（x）的对称中心为（-1，-1）

（2）任取x1，x2∈（-1，+∞），且x1＜x2

∵f(x1)-f(x2)=-=＞0

∴函数f（x）在（-1，+∞）上为减函数

（3）不存在

f(x)=-1+，

由x0＜0得：f（x0）＜-1或f（x0）＞2但0＜3x0＜1，

所以不存在．

（1）证明：令x1=x2=1，得f（1）=2f（1），

∴f（1）=0．

令x1=x2=-1，得f（-1）=0．

∴f（-x）=f（-1•x）=f（-1）+f（x）=f（x）．

∴f（x）是偶函数．

（2）证明：设x2＞x1＞0，则

f（x2）-f（x1）=f（x1• ）-f（x1）

=f（x1）+f（）-f（x1）=f（ ）．

∵x2＞x1＞0，∴＞1．

∴f（ ）＞0，即f（x2）-f（x1）＞0．

∴f（x2）＞f（x1）．

∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．

（I）∵f（x）=t（x+t）2-t3+t-1（x∈R，t＞0），

∴当x=-t时，f（x）取最小值f（-t）=-t2+t-1，

即h（t）=-t3+t-1；

（II）令g（t）=h（t）-（-2t+m）=-t3+3t-1-m，

由g′（t）=-3t2+3=0得t=1，t=-1（不合题意，舍去）

当t变化时g′（t）、g（t）的变化情况如下表：

∴g（t）在（0，2）内有最大值g（1）=1-m

h（t）＜-2t+m在（0，2）内恒成立等价于g（t）＜0在（0，2）内恒成立，

即等价于1-m＜0

所以m的取值范围为m＞1．

（1）∵a＞0，f(x)=+是R上的偶函数．

∴f（-x）=f（x），即+=+，

∴+a•2x=+，

2x（a-）+（a-）=0，

∴（a-）（2x+）=0，∵2x+＞0，a＞0，

∴a-=0，解得a=1，或a=-1（舍去），

∴a=1；

（2）证明：由（1）可知f(x)=2x+，

∴f′(x)=2xln2-=2xln2(1-)=2xln2()

∵x＞0，

∴22x＞1，

∴f'（x）＞0，

∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；