- 函数的周期性
- 共6029题
已知函数f（x）=
（1）求实数a的值；
（2）判断并证明f（x）的单调性；
（3）若对∀x∈[0，1]，不等式f（x）≤t-x恒成立，求实数t的取值范围．
正确答案
（1）∵f（x）是奇函数
∴f（0）=0，即
∴a=1----------------------（3分）
经检验：a=1时f（x）=
（2）f（x）是单调增函数
证明：任取x1，x2∈（-∞，+∞），x1＜x2
f（x1）-f（x2）=
=
∵x1，x2∈（-∞，+∞），x1＜x2
∴2x1-2x2＜0，
则f（x1）-f（x2）＜0，即f（x）在（-∞，+∞）上是单调增函数．----------------------（10分）
（3）由题意分离t得：t≥f（x）+x对x∈[0，1]恒成立----------------------（12分）
由（2）知函数f（x）在（-∞，+∞）上是单调增函数
∴f（x）+x在[0，1]上是单调增函数
∴f（x）+x在[0，1]上的最大值为f（1）+1=
∴t≥
已知函数f(x)=x-
（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；
（2）用定义证明f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）求函数f(x)=x-
正确答案
（本题14分）
（1）证明：定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
∵f(-x)=-x-
∴f（x）为奇函数
（2）证明：对于任意x1，x2∈（0，+∞）设x1＜x2则f(x1)-f(x2)=x1-
∵0＜x1＜x2
∴x1-x2＜0，x1x2＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0
∴f（x1）＜f（x2）
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（3）f（x）为奇函数且在（0，+∞）上是增函数
∴f（x）在（-∞，0）上为增函数
∴fmax（x）=f（-1）=-1+4=3fmin（x）=f（-2）=-2+2=0
∴f（x）的值域为[0，3]．
已知函数f（x）=|x-1|-|x-a|，（x∈R）是奇函数，且f（x）不恒为0，则a2012=______．
正确答案
∵函数f（x）=|x-1|-|x-a|，（x∈R）是奇函数，
∴f（0）=1-|a|=0
∴a=±1
a2012=1
故答案为：1
已知函数f（x）=2x3+x+sinx+1，若f（a）+f（a+1）＞2，则实数a的取值范围是______．
正确答案
设g（x）=f（x）-1=2x3+x+sinx．
∵g（-x）=-g（x），∴g（x）是奇函数．
∵g′（x）=6x2+1+cosx≥0，∴函数g（x）在R上单调递增，
∵f（a）+f（a+1）＞2，∴f（a+1）-1＞1-f（a）=-（f（a）-1），
∴g（a+1）＞-g（a）=g（-a），
∴a+1＞-a，解得a＞-
因此实数a的取值范围是（-
故答案为（-
函数f(x)=x+
（Ⅰ）判断并证明函数的奇偶性；
（Ⅱ）若a=2，证明函数f（x）在（2，+∞）上单调递增；
（Ⅲ）在满足（Ⅱ）的条件下，解不等式f（t2+2）+f（-2t2+4t-5）＜0．
正确答案
（I）该函数为奇函数．
证明：函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，
且f（-x）=-x+
故函数f（x）为奇函数．
（II）当a=2时，f（x）=x+
∀2＜x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=(x1+
∵2＜x1＜x2，∴x1-x2＜0，x1x2＞4，即x1x2-4＞0．
∴
∴f（x1）＜f（x2），函数f（x）在（2，+∞）上单调递增．
（III）∵f（x）为奇函数，∴f（t2+2）＜-f（-2t2+4t-5）=f（2（t-1）2+3），
∵t2+2≥2，2（t-1）2+3＞2，函数f（x）在（2，+∞）上单调递增，
∴t2+2＜2t2-4+5，
化为t2-4t+3＞0，解得t＜1或t＞3．
扫码查看完整答案与解析