- 函数的周期性
- 共6029题
已知f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函数，且其定义域为[a﹣1，2a]，则a=（ ），b=（ ）．
正确答案
已知函数
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）若
正确答案
解：（1）f（x）定义域为R，
故f（x）是奇函数
（2）由
则a-2b+1=0．
又log3（4a﹣b）=1，
即4a﹣b=3．
由
定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+3同时满足以下条件：
①f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；
②f′（x）是偶函数；
③f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）设
正确答案
解：（Ⅰ）f'（x）=3ax2+2bx+c
∵f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，
∴f′（1）=3a+2b+c=0①
由f′（x）是偶函数得：b=0②
又f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直，f'（0）=c=﹣1③
由①②③得：
（Ⅱ）由已知得：存在x∈[1，e]，使
即存在x∈[1，e]，使m＞xlnx﹣x3+x
设
设H（x）=M'（x）=lnx﹣3x2+2，则
∵x∈[1，e]，∴H'（x）＜0，即H（x）在[1，e]递减
于是，H（x）≤H（1），即H（x）≤﹣1＜0，即M'（x）＜0
∴M（x）在[1，e]上递减，
∴M（x）≥M（e）=2e﹣e3
于是有m＞2e﹣e3为所求．
设函数f（x）=ax3+bx+c（a≠0）是定义在R上的奇函数，其图象在点（1，f（1））处的切线方程是6x+y+4=0．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）在[﹣1，3]上的最大值和最小值．
正确答案
解：（Ⅰ）因为f（x）为奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x）．
即﹣ax3﹣bx+c=﹣ax3﹣bx﹣c．
解得c=0.
又直线6x+y+4=0的斜率为﹣6，
所以f '（1）=3a+b=﹣6．
把x=1代入6x+y+4=0中得
f（1）=﹣10
点（1，﹣10）在函数f（x）的图象上，则a+b=﹣10
解得a=2，b=﹣12．
所以a=2，b=﹣12，c=0.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x3﹣12x．所以
所以函数f（x）的单调增区间是
因为f（﹣1）=10，
f（x）在[﹣1，3]上的最大值是f（3）=18，最小值是
已知f（x）是定义在[﹣e，0）∪（0，e]上的奇函数，当x∈（0，e]时，f（x）=ax+2lnx，（a＜0，a∈R）
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在实数a，使得当x∈[﹣e，0）时，f（x）的最小值是4？如果存在，求出a的值；如果不存在，请说明理由．
正确答案
解：（1）设x=[﹣e，0），则﹣x∈（0，e]∴f（﹣x）=﹣ax+2ln（﹣x）．
∵f（x）是定义在[﹣e，0）∪（0，e]，上的奇函数，
∴f（x）=﹣f（﹣x）=ax﹣2ln（﹣x）．
故函数f（x）的解析式为：
（2）假设存在实数a，使得当x∈（﹣e，0]时，
f（x）=ax﹣2ln（﹣x）有最小值是3．
∵
①当
由于x∈[﹣e，0），则f'（x）≥0．故函数f（x）=ax﹣2ln（﹣x）是[﹣e，0）上的增函数．
∴f（x）min=f（﹣e）=﹣ae﹣2=4，解得
②当
综上所知，存在实数a=﹣2e，使得当x∈[﹣e，0）时，f（x）最小值4．
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